Carta de un profesor sobre las reglas de calculo

[rcg]

Saludos del desierto del centro de España donde la temperatura está a más de 35 º C (308 K),

Antonio[/font, gracias por tus buenos consejos. De hecho es muy difícil de sobrevivir en esta selva de las RC. Si tengo que creer lo que me dices que es lo que tengo que creer, poco tengo que creer    .

Antes de responder a la petición de Alvaro de demostrar el fundamento de la regla del Nueve, os comento cómo hemos progresado con la regla de cálculo.

Esta semana nos hemos limitado a entender y manipular las escalas CI y D. Primero operamos con multiplicaciones, y descubrimos que era bastante más cómodo trabajar con ambas escalas en caso de multiplicaciones en cascada. Primero realizamos multiplicaciones simples de 2 factores, después de 3 y finalmente de 4 factores.

Después hemos realizado divisiones de un solo factor en el denominador, 2 y 3 factores en el denominador. Como era de esperar, los alumnos se dieron cuenta que no es quizá siempre cómodo dividir con la escala CI.

Finalmente realizamos operaciones compuestas de 4 a 6 términos (multiplicar y dividir) con sólo las escalas D y CI. La experiencia ha valido la pena, pues, ya podremos iniciar esta próxima semana  operaciones compuestas con cualquier de las tres escalas conocidas C, D y CI. Va a ser una buena aventura.

Mensaje para Alvaro.

Como prometido a continuación hallarás mi demostración del fundamento de la Regla del Nueve. Seguro que sacarás de la manga una muchísimo más fácil. Los tratados de Aritmética no dan muchas pistas. Quizá me falte algún buen tratado. He consultado varios, hasta en ruso, y ?niet de niet?,Tovarich,  en cuanto a la demostración. Seguro que me falta el manuscrito en siríaco del siglo III o IV donde aparece la demostración. O quizá se la dejó Fermat en uno de sus manuales perdidos!!  Muchos comentan, pero nadie se quiere mojar.

¿Qué nos dice la Regla del Nueve? Algo así :

En cualquier multiplicación de 2 factores, si se suman todas las cifras del primer factor, por un lado, y se suman todas las cifras del segundo factor, por el otro, y se efectúa el producto de ambos valores, se obtiene un resultado, cuya suma de todas las cifras tiene que ser igual a la suma de todas las cifras del resultado de la multiplicación original.

Para demostrar esta propiedad, recurriré a la teoría matemática de los módulos.

EL valor de un módulo de un número natural ?A? en base modular ?m? es  ?a? (ambos naturales) si existe un natural ?k? de tal manera que :

              A = (m * k) + a        o    A = a (mod m)    .

En realidad, el valor modular es el resto de una división aristotélica.

Podría citar montones de ejemplos.

Los ángulos son un módulo 360. Así  827º = 107º (mod 360º).
La horas de un reloj convencional son otro módulo12, pues, 22 horas º 10 horas (mod 12 horas). Etc.

Todo número entero An se puede escribir como un polinomio finito de base 10 :

                     An = an 10^n + .... + a1 10^1 + a0 10^0 = an 10^n + .... + a1 10 + a0   .

De la misma, todo entero Bp se escribirá también como

                   Bp = bp 10^p + .... + b1 10^1 + b0 10^0 = bp 10^p + .... + b1 10 + b0   .

El resultado Rq del producto de An * Bp = Rq    con q <= n + p, todos naturales, se escribirá, por su parte como,

                 Rq = rq 10^q + .... + r1 10^1 + r0 10^0 = rq 10^q + .... + r1 10 + r0   .

La Regla del nueve se podría, por lo tanto, formular de la siguiente manera, considerando los tres desarrollos anteriores :

La suma de todas las cifras de ([an + .... + a1 + a0] * [bp + .... + b1 + b0]) = [rq + .... + r1 + r0] .

Lo siento por la gente sensible, pero esto es para personas de plomo. Así quienes puedan tener ?pupa?, abstenerse de leer lo que sigue.   

Miguel-Angel, prepara tu herramienta, quizás tengas que hacer horas extras con los caídas en medio camino de esta aventura  .

Demostración : (aquí empieza la aventura).

1ª Parte :
Como An = Suma de las cifras de An por su rango de base (10 ^i) y  Bp = Suma de las cifras de Bp por su rango de base (10 ^i) ,  el producto de An * Bp  será igual a

           An  =    an.10^n  + an-1 .10^(n-1)  + .... + a2.10^2   + a1. 10 + a0   

    x     Bp  =    bp .10^p  + bp-1 .10^p-1  + .... + b2.10^2   + b1.10 + b0   
                                               
               _________________________________________________________________________________________

  (b0 . an)10^n  + (b0 . an-1) 10^n-1  +  ....      + (b0 . a2)10^2 + (b0 . a1)10 +  (b0 . a0)                                     

  (b1 . an)10^n+1  + (b1 . an-1) 10^n  + ....    + (b1 . a1)10^2 + (b1 . a0)10   

                                                                         ......
 
  (bp-1 . an)10n+p-1  + (bp-1 . an-1) 10n+p-2  + ....              + (bp-1 . a1)10p + (bn-1 . a0)10p-1   

   (bp . an)10n+p  + (bp. an-1) 10n+p-1  + ....              + (bp . a1)10p+1 + (bn-. a0)10p   

________________________________________________________________________________________________

(bp . an)10^n+p  +  [(bp . an-1) + (bp-1. an)] 10^n+p-1 + [(bp. an-2) + (bp-1 . an-1)+ (bp-1 . an ] 10^n+p-1  + ... +[(b2- a0) + (b1- a1)+ (b0. a2)]10^2 + [(b0 . a1) + (b1 . a0)]10  +  (b0 . a0)   

que llamamos       Rs = rq 10^s + rq-1 10^s-1 + .... r2 10^2   + r1 10 + r0  con q  <= (n + p+1)                 

Para llegar a esta conclusión (y a otras que seguirán a continuación), he de utilizar propiedades fundamentales de la Aritmética. Creo que no es oportuno desarrollar sus planteamientos. Para ello, necesitaría escribir un Tratado de Aritmética. Las ganas para ello no parecen enraizarse en mi propia voluntad.   Llamemos S =   ,

Sea SA = an + an-1 + ....+ a2  + a1 + a0   y   SB = bp + bp-1 + ....+ b2  + b1 + b0  .

Calculemos   SA * SB  :

                        SA  =    an   + an-1  + .... + a2  + a1 + a0   

                  x     SB  =    bp  + bp-1  + .... + b2 + b1 + b0   
                                               
               _________________________________________________________________________________________

       (b0 . an) + (b0 . an-1)  +       ....               + (b0 . a2)+ (b0 . a1)+ (b0 . a0)                                         
 
    (b1 . an) + (b1 . an-1) +                           ....                + (b1 . a1) + (b1 . a0)   

                                                                         ......
 
    (bp-1 . an)  + (bp-1 . an-1) +      ....            + (bp-1 . a1)+ (bn-1 . a0)   

     (bp . an) + (bp. an-1) + ....              + (bp . a1) + (bn-. a0)   

________________________________________________________________________________________________

(bp . an) +  [(bp . an-1) + (bp-1. an)] + [(bp. an-2) + (bp-1 . an-1)+ (bp-1 . an ]  + ... +[(b2- a0) + (b1- a1)+ (b0. a2)] + [(b0 . a1) + (b1 . a0)] +  (b0 . a0)   

que llamaremos Ps.

Pero,  Q =  (bp . an) +  [(bp . an-1) + (bp-1. an)] + [(bp. an-2) + (bp-1 . an-1)+ (bp-1 . an ]  + ... +[(b2- a0) + (b1- a1)+ (b0. a2)] + [(b0 . a1) + (b1 . a0)] +  (b0 . a0)   

Podemos comprobar que Ps =  S. Esto demuestra una primera parte del teorema.

Precisión :

Es posible que  Los valores de Sa > 9,  SB > 9 , Ps > 9 o S > 9 , en tal(es) casos, el propio Teorema nos indica que podemos reducir cada uno de esos términos en expresiones polinomiales de base 10. En caso de volver a obtener valor superiores a 9, tendríamos la licencia de volver a reducir estas últimas expresiones hasta hallar valores finales no superiores a 9.

La conclusión de esta primera parte es la siguiente : el producto de la suma de las cifras de cada uno de los factores de una multiplicación es igual a la suma de las cifras del resultado de dicha multiplicación.

Para completar la demostración del Teorema, es preciso que la suma de las cifras de Ps sea igual a S. Esta es la segunda parte de la demostración.

2ª Parte

Demostremos  que  sea cual sea An =   an 10n  + an-1 10^n-1  + .... + a210^2   + a1 10 + a0   :

          An = SA  (mod 9).

Una vez demostrada esta propiedad, podríamos afinar la operación en caso de que  :  SA >9 :   SA = SA'  (mod 9) con   SA' < 10 .

¿Qué significa esta propiedad? ¿Cuál es su importancia? Simplemente que el resto de la división de un número entero por 9 es igual a la suma de todas sus cifras

Por ejemplo, dividir  7598 entre 9 da un valor entero de veces (844) y un resto 7+5+9+8 = 29. Este valor 29 º 2 (mod 9), siendo 2 el resto final.

Volvamos a nuestra demostración.

Cualquiera que sea  An  =  an 10^n  + an-1 10^n-1 + .... + a2 10^2 + a1 10 + a0  :  An  = SA  (mod 9).
Otro tanto con Bp  =  bp 10^p  + bp-1 10^p-1  + .... + b2 10^2   + b1 10 + b0   : Bp = SB  (mod 9).

En efecto : An ? SA = an ((10^n) -1)  + an-1 ((10^n-1)? 1)+ .... + a2 ((10^2) ?1) + a1 (10 ? 1)  y como

(10^n) ? 1  es divisible por 9 y el cociente de dicha división es 111...11 con (n-1) ?1? = 9 .10^n-1  + 1 .10^n-2  + .... + 1 . 10^2   + 1 . 10 +  1 .

Como   An ? SA  es divisible por 9 , podemos hallar un valor entero ?c? que sea el cociente de dicha división :

(An ? SA) / 9 = c  <-->  (An ? SA) = 9 * c   <-->  An = 9 * c  + SA  <-->  An = SA (mod 9) o si preferimos

Otro tanto diríamos de Bp = SB (mod 9).

Notemos que  An * Bp = (SA.SB) (mod 9) ,

pero como An * Bp = Rq   con Rq = S (mod 9),

la conclusión inmediata será (SA.SB) (mod 9) =  S (mod 9) .

Pro como   Ps = (SA.SB)  (mod 9)

Por lo tanto :  Ps (mod 9) = S  (mod 9) .

Esta última igualdad, nos confirma que la suma de las cifras del productos de las sumas de las cifras de cada factor de una multiplicación es igual a la suma de las cifras del resultado del producto de la multiplicación, todo ello operando bajo un módulo numérico de base 9.

¿Qué pasa con aquellos números que no sean enteros, es decir que sea decimales? Lo que tendremos que hacer es simplemente multiplicar cada factor por una potencia de 10 ^ (el números de decimales) y el resultado por 10 ^ ( número de decimales del resultado = a la suma de los decimales de cada factor). El desarrollo pasa de números decimales a números enteros. Esta es la parte  más fácil de la demostración del Teorema.

En realidad he desarrollado el la demostración en un fichero Word, pero al trasladarlo aquí se me quedí en patata revuelta. He intentado corregir las anomañías, pero alguna se habrá quedado en el tiiinntero. 

Después de esta expedición a través del mundo de los números me encuentro a penas con alguna neurona viva. A ver si estas vacaciones me pude recargar las baterías. Lo siento a los demás foreros por el trozo de plomo que acabo de plasmar sobre la pantalla. 


Congratulations for la poesía calculada. Entiendo que el big boss no era de Letras. Miguel-Angel y Alvaro son poetas de toda la vía. Gonzalo cuando vuela a encontrar a su musa será, sin duad alguna, the best, 

Teoremistícos saludos

Raimundo

[gma]

confieso haber leido 10 lineas de tu brillante demostración ....luego me fui a beber una    , intentaré continuar la lectura este invierno


Gonzalo

[jfz62]

 Hola Rai,

   Has dejado al personal completamente "patidifuso" con este ultimo post...

Después de esta expedición a través del mundo de los números me encuentro a penas con alguna neurona viva. A ver si estas vacaciones me pude recargar las baterías. Lo siento a los demás foreros por el trozo de plomo que acabo de plasmar sobre la pantalla.

  No se cuantos matemáticos "reales" "pululan" por aquí, pero creo (eso supongo  ) que a mas de uno le habrá encantado seguir las demostraciones, de clase magistral minimamente...  

Congratulations for la poesía calculada. Entiendo que el big boss no era de Letras. Miguel-Angel y Alvaro son poetas de toda la vía. Gonzalo cuando vuela a encontrar a su musa será, sin duad alguna, the best,

  Cuando descubrí la vena poética de parte del personal aquí presente y "escribiente" no dude en abrir la sección de "Poesía Calculada", estaría bien que ellos mismos trasladaran los poemas referentes al numero pi que existen a esa sección....

Entiendo que el big boss no era de Letras

  Pues si que lo era..., si, en su tiempo elegí la mezcla que había en los planes de estudios, hice mi añito de latín, algo de griego y estaba "enamorado" de mi "profa" de literatura (malas notas no tenia... ), y porque por actuales problemas de tiempo no me "enrollo" mas, que si no... :laugh:

  Mathemalinguiticos Saludos

 

[Teruteru314]

La demostración es compleja
eso ya lo tenía descontado
y aún no se me ha atorado
ni siquiera su moraleja

Después de andar el ancho mundo
si no quieres atorarte
deberías pues frenarte
de preguntarle a Raimundo

Esforzado y concentrado
todita me la he leído
sin haberme enfermado
sin haberme comedido

Del principio al final
o del final al principio
al propio 9 le dio igual
y he usado el participio

       


Hay cosas a las que no me puedo resistir 

Participados saludos

[Teruteru314]

Qué callado está el foro,
ni un atisbo de respuesta,
será por una apuesta
o por falta de decoro?

Nadie se manifiesta,
todos tras el tesoro
que yo siempre valoro
como ayuda supuesta ...    

[MAAG57]

Simplemente intentamos digerir tanta sapiencia

La semana que viene estaré de viaje, la siguiente trabajo y luego, ya de vacaciones, leeré con calma los correos.

Veraniegos saludos,

[rcg]

Buenas noches amigos foreros,

Alvaro,

Agradezco tu hermosísimo poema con su anexo. Quien ha estudiado Letras - en este caso el que escribe  -, es quizás el que menos conletras escribe  . Creo que la causa está en qué lengua escribir buenas letras.

Agradezco tu paciencia con la lectura de la demostración. Admito que es aburridísima. tienes toda la razón de dejarla para el invierno ... entiendo el invierno poético  .

Mis alumnos intentaron seguir el hilo de mi rollo, pero "na de na", así que me comentaron que se la explicase en clase. No llamé al servico de Urgencias porque no tenía el número de teléfono, porque he visto caras de todo tipo.

Mi te contaré una anécdota. Hace muchos años daba clases de Matemáticas para Mayores de 25 años para el acceso a la carrea de Ingeniería. Y al escribir una de las fórmulas de Termodinámica en la pizarra que me ocupó media pizarra, uno de los alumnos se levantó para ir a los aseos porque se encontraba mal, cuando quiso andar se cayó desmayado en plena clase. La causa : no sabía por dónde empezar a leer la fórmula. Algo similar podría haber ocurrido en clase esta tarde.

Enhorabuena por tus desarrollo sobre el tren de alta velocidad. ¿Quiénes calculan los proyectos? Acaso es debido al uso, o mal uso, de los equipos electrónicos.

Jorge,

Me sorprendes. No sabía tu afición por las Letras, quizás tenga que ser más exacto por las profesoras de Letras. Algo similar me ocurrió. Estudié Letras, porque pensaba que las alumnas de Letras pensaban menos que las de Ciencias, y que sería más fácil enrollarse con ellas. ¿No dicen que para aprender lenguas no hay como en intercambio lingüístico? 

¿Que hemos practicado con las reglas de cálculo?

Hemos recapitulado todo lo que sabíamos sobre las multiplicaciones y divisiones con las escalas C, D y CI, procurando utilizar cada escala en función de las comodidades de cada operación.

Este viernes empezamos a utilizar el uso de la escala A para efectuar cuadrados. La próxima semana seguiremos con los cuadros y las raíces cuadradas. Es interesante, pero no olvidad que las reglas no disponende escala B. Así que buscaremos algún truquillo para realizar o máximo de operaciones.

Lo que es de apuntar y resaltar, es que cada vez más alumnos utulizan la regla en vez de la calculadora. Van tomando más confianza en ella  .

Lingüisticofilícos saludos

Raimundo

[Teruteru314]

La verdad Raimundo es que leyendo la demostración me lo pasé pipa ... es mi veta masoquista. 

No se simplificaría enfocando el problema desde el punto de vista de los grupos de resto?

Es decir, los 9 conjuntos de números naturales que comparten la característica de tener el mismo resto cuando son divididos (división entera) por 9 ? (u obviamente mod 9)

Aunque no soy experto en demostraciones matemáticas, me resulta más intuitiva la noción de que cada factor del producto pertenece a uno de esos 9 grupos, y que el resultado pertenecerá al mismo grupo que sea el producto de los grupos de los factores.

Además, la regla del 9 funciona para el producto, el cociente, la raíz cuadrada, y en general a cualquier operación en la que intervengan números enteros.
Sin embargo, en el caso de una suma o resta, el hecho de que se cumpla la regla del 9 no es garantía de que el resultado sea correcto, sino que el resultado correcto pertenece a ese determinado "grupo de restos".

En fin, vive le neuf et ses restes!

Restados saludos

[rcg]

Alvaro,

Más que algo en común parecemos tener ambos. Las demostraciones siempre fueron un excitante mental hasta tener que pasar algunas noches con papel y lápiz hasta hallar la demostarción final.

Tienes toda la razón cuando te refieres a los restos. En cierta medida es lo que manifiesta la demostración cuando reduce 1º cada factor a su resto de la división por 9, 2º el resto de la división por 9 del producto de esos restos y 3º el resto del producto de ambos factores también por 9.

Entiendo qué sería más simplificada la demostración si se redujese sendos restos a cualquiera de las 9 categorías de restos de una divisiónpor 9 : 0 (o 9) 1, 2 , 4, 5, 6 7, 8. Pero no veo cómo enfocarlo de manera literal o a modo de rigor demostrativo.

La regla del 9 es, como tú bien escribes, válida para la multiplicación y división. No había caído que también se podría aplicar con radicales. No me estraña, pue, es un procedimiento válido para cualquier tipo de multiplicación. La división no es más que una multiplcación inversa y la raíz cuadrada es la inversa de una potencia que, a su vez es una multiplicación intrínseca. También es válida para las potencias. La potencia es a la multiplicación, lo que la raíz es a la división.

En cuanto a la suma, no lo tengo muy claro, pues nunca se me había ocurrido aplicar la regla del 9. A primera vista, el módulo conserva la suma y la resta de números enteros. Pero, entiendo que no es fiable.... Aquí necesito tu inspairación.

¿Te has preguntado si existe una regal similar a la 9 que se podría aplicar a otro sistema de referencia numérico, octal o hexagesimal?

Curiosísticos saludos

Raimundo

A

[rcg]

Buenas noches a todos,

Como ya es costumbre, os escribo un pequeño resumen de loq ue hemos aprendido esta semana con las reglas de cálculos.

Hemos praticado el manejo de la escala cuadrática (A). Así es repasado operacioens de cuadrado y de raíces cuadradas con o sin ceros iniciales.

De`spués realizamos las siguientes operaciones (todas sin escala B) :

1) x * (y^2)

2) x / (y^2)

3) (x^2) * (y^2)

4) (x^2) / (y^2)

Aprovechando esas operaciones vimos cómo obtener el área de un disco o círculo conociendo el diámetro (caso 1º) con la marca 7-8-5 sobre A. También vimos cómo hacer la misma operación con los trazos presentes sobre la regleta. Finalmente calculamos el peso por metro lineal de una barra circular de acero, pues la masa específica del acero es muy cercano a 7,85 kg/dm3 (caso 3). Operaciones muy importante para nuestra ciencia.

Todavía habrá cosecha con la escal cuadrática para una semana como mínimo. Así que paciencia para la tropa estudiantil del Sgto Ray.

Cuadráticos saludos

Raimundo

[gma]

hola todos

esto se está poniendo a un nivel matematicamente increible .....

siento no contestar en verso : ¡ se me ha chamuscado la musa en las playas de la Costa Brava ! ( de ahí vengo....  )
aunque :

     ¿ de Letras ser
     o de Ciencias ?
     la verdad.....
     lo que vale es saber
     de las reglas calcular


saludos

Gonzalo

[rcg]

Estimados amigos,

Con los casi 44 ºC (nada menos que 111 ºF, que ya son grados  ) que ha hecho cuando llegué de un mini viaje de las tierras bercianas de donde soy. Pensaba disfrutar de temperaturas agradables, mi sorpresa fue toda otra : 32 ºC con el grado de humedad de la zona  . Por supuesta no era cuestión de comer mi botillo preferido  . Para la próxima vez será.

Gonzalo, has podido utilizar cualquiera de tus reglas de cálculo en la Costa Brava. Imagina todos los IMC que has podido tirar con ella ...    . (Por lo menos disimuladamente  ).

Esta semana hemos continuado practicando los cuadrados con la RC en clase. Así pudimos determinar el área de un disco de diámetro D, pero también determinar el diámetro de un disco de área S. Intentamos resolver el misterio de la cuadratura del círculo : qué diámetro de círculo equivale a un cuadrado de área dada y vice versa. Se calculó el peso por metro lineal de una barra de perfil cuadrada y de perfil circular. Calculamos el peso por metro lineal de un tubo de acero dediámetro exterior D y de espesor E. Operación muy interesante y muy útil para nuestra especialidad. Realizamos, finalemente, las operaciones de x^4, 1/(x^2) y de 1/(x^4).

No queda pendiente la operación (x^2)/y. Para esta semana "insh-alla" (que si no me equivoco fue una canción de Adamo).

Informativos saludos 

Raimundo

[gma]

HONOR A LOS VALIENTES QUE EN VEZ DE ESTAR EN LA PLAYA SIGUEN ESTUDIANDO LAS REGLAS DE CALCULO


con respecto al cálculo del IMC en las dichas playas.... es mejor ponderarlo con la mirada..si no se puede con otra cosa.

saludos

Gonzalo

[Teruteru314]

Se evitan mucho los "errores de paralaje" utilizando gafas oscuras.                                      

Vigilados saludos

[rcg]

Saludos foreros,

Inicio la sesión con el parte de conceptos adquiridos esta semana (algo corta, cierto).

Hemos continuado con operaciones cuadráticas : (x^2)/y , 1/(x^2) , x^4 y 1/(y^4). Aprovechamos para determianr el IMC  (Miguel-Angel, intento que mis chicos salgan prevenidos  ).

Iniicamos operaciones de raíz cuadradas y cuartas : sqrt(x) ,  y ^(1/4) , sqrt(x) * y ,  sqrt(x) / y , x/sqrt(y). Alguna operación quedará para esta última semana de clase.

Gonzalo, no desmotives a los pobres recién iniciados, pues el pretexto de la RC en la playa o piscina es poder observar deliberadamente y libremente (es decir descaradamente  ) las siluetas de las chicas de enfrente sin que las parientas sospechen algo."Sólo es para practicar el cálculo", dirá cada uno a su autoridad     

Siluetastícos saludos

Raimundo

[e-lento]

Hola: 

A mí me parece impresionante que este instrumento del "pasado" (con perdón) esté siendo la "escusa" para mantener el interés por aprender del alumnado. ¡Enhorabuena!

Quizá sería interesante poder pasar esta experiencia a otros centros de enseñanza ("el juego de la regla de cálculo" podría ser el título...). 

Bueno, no sé, el título así queda un poco frívolo (¿pero llama la atención del estudiante?). De todos modos, y a parte de esta propuesta, creo que podría ser interesante ir recopilando todos los comentarios que nos está pasando el "sargento Ray" para hacer como un "libro" de enseñanza (los derechos de autor suyos, claro) , y colgarlo aquí en la web...

¡Estudiantiles Saludos! 

[hammer]

Quizá sería interesante poder pasar esta experiencia a otros centros de enseñanza ("el juego de la regla de cálculo" podría ser el título...). 

Muchas veces he pensado que el tema de logaritmos en las matemáticas de la enseñaza secundaria sería excusa perfecta para iniciarlos en el uso de ese maravilloso instrumento, al tiempo que en este tema tan árido de los logaritmos en seguida se vería el componente práctico (eso que siempre preguntan los alumnos: "¿y esto para que me sirve?")

[gma]

Gonzalo, no desmotives a los pobres recién iniciados, pues el pretexto de la RC en la playa o piscina es poder observar deliberadamente y libremente (es decir descaradamente  ) las siluetas de las chicas de enfrente sin que las parientas sospechen algo."Sólo es para practicar el cálculo", dirá cada uno a su autoridad    

pues lo siento..... porque me voy 15 dias a las playas del Cantabrico  (del lado de Euzkadi)... y no me llevo una regla de calculo sino unos prismaticos -alias gemelos- para el calculo de curbas femininas...


saludos

Gonzalo

[rcg]

Amigos foreros,

La idea de un manual o libro es estupenda. No tiene que ser exclusividad mía, creo de todos nosotros. Yo podría aportar una experiencia real, pero vosotros todo comentario o ayuda muy valorados. En cuanto a intentar de realizar algo similar en otros centros, es cuestión de lanzarse. Estoy convencido que el alumnado adulto, pero también adolescente, se lo tomaría con mucho interés. Los logaritmos es un buen pretexto, pero no el único. Las ecuaciones de 2º grado, las resolución de triángulos, son otros tantos.

Gonzalo,

Admito que los prismáticos es más realista, pues ves lo que ves. Pero, me pregunto. Si utilizas prismáticos, ¿a qué distancia estás de la realidad? Con la regla puedes estar a algunas pulgadas, a algunos pies. 

Panorámicos saludos
Raimundo

[hammer]

Los logaritmos es un buen pretexto, pero no el único. Las ecuaciones de 2º grado, las resolución de triángulos, son otros tantos.

Por supuesto que sí, pero creo que al ser los logaritmos el fundamento de las reglas de cálculo, serían éstos el mejor punto de partida para iniciarlos. Luego claro que pueden venir otros usos. Además, el tema de logaritmos habitualmente suele ser completamente árido en cuanto a utilidades prácticas, con lo que los alumnos podrían comprobar para qué pueden servir.

Saludos

[rcg]

Amigo Hammer,

Admito tus argumentos , pero para poder disfrutar mejor de la regla de cálculo, convendría explicar los logaritmos con jóvenes de unos 15 años, tal como se hacía antiguamente. Si se esperan los 17 años actuales, se pierden oportunidades con nuestro instrumento.

El asunto radica en la pobreza de nuestro sistema educativo actual. Es muy difícil entender que con 15 años todavía se estén con fracciones, ecuaciones de primero y segundo grado malamente aprendidas. ¿Qué se sabe de los números 2 o 3 páginas del Manual de curso de 3º o 4º de la ESO. Ya no te comento el lío que tienen con los sistemas de ecuaciones de 2 incógnitas. ¿Y de 3 incógnitas? N.P.I al cubo 

He tenido que explicar Matemáticas para alumnos de 1º de Empresariales/Económicas e Ingeniería utilizando mis libros de Bachillerato, porque si utilizaba mis propios libros, me miraban con si fuese un ALIEN  Ecuaciones paramétricas o sistemas paramétricos, bases de sistemas vectoriales con partes generatriz y libres del plano, todavía algo podían asimilar, pero del espacio tridimensional, muy mal. Ya no te cuento de un espacio N-dimensional.  Podría ser el monstro de la naturaleza.

Yo me acuerdo que el sistema de enseñanza segundaria que tenemos se dio en Francia, Bélgica, Reino UNido y Alemania en los años 70 (sí 70), lo toleraron menos de una década porque fue un fiasco y un fracaso escolar. Nosotros con todo el ingenio del quijotismo español, lo implantamos como la inovación del siglo (de entonces)  . Ya no te comento lo que nos ha costado su implantación en las pesetas de entonces. ¿Qu é nos ha quedado de la Formación Profesional? Módulos de "modular, modulantis modulando modulato".

EL fracaso de las reglas de cálculo ha sido provocado, para que nuestros hijos eviten ser lo que tendrían que ser : personas muy bien preparadas y con mucho sentido pensativo. Pero lo que importanta son lo que los medias imponen y los progamas basura de la tele. Con esto mi lejos irá nuestra sociedad.

Lo siento por mis amargas palabras, pero el docente vive de cerca esta situación. Y a veces predicamos en el desierto .....  Todavía estoy esperando a encontrar a mis discípulos, quizá no pesque bien. 

Unos saludos modulantes

Raimundo

[Teruteru314]

Entiendo perfectamente tu frustación profe. 

En raras ocaciones yo he tenido que ejercer la docencia, y en esos raros casos era sobre cosas tan especializadas que no existía material ni experiencia previa. 

Pero he sentido yo mismo la rémora de tirar de un carro frenado por mis compañeros, que preferían "una cervecita o un truco (equivalente al mus)" en lugar de arremeter contra un análisis complicado para preparar una práctica.

No tengo fé en la enseñanza, pero sí en el desarrollo personal, el esfuerzo que uno mismo hace cuando la cosa le interesa. Siempre habrá estudiantes "irrecuperables", que muy honrosamente se ganan la vida con trabajos no técnicos ... y que suelen ganar bastante más que nosotros sin romperse la cabeza (como fontaneros, electricistas, políticos ... ejem) 
 
No quiero ser tan chauvinista como para pensar que a todo el mundo le deben gustar las tecnologías o las ciencias exactas ... cualquiera que ponga empeño en lo que hace (sin robar) debería consequir lo que quiere.

Pero es que hay algunos que no quieren lo que quiere el normal de la gente, sino que quieren j...r a la gente. 

En fin, te entiendo ... y suscribo.


Suscritos saludos

[rcg]

Saludos a todos.

Alvaro,

El  docente es como un predicator. A veces predica en el desierto. En algunos casos, nos encontramos con personas con una motivación muy particular.

Ya terminamos las últimas clases antes de las vacaciones. Aprovechamos para repasar y terminar con el cálculo de raíces cuadradas.

sqrt(a)*b  -    sqrt(a)/b    -   a/sqrt(b)   -     1/sqrt(a)  -    a ^(1/4)  -   1/(a^(1/4)  -  sqrt(a*b)   -    sqrt(a/b).

El jueves iniciamos las primeras explicaciones acerca de la resolución de ecuaciones de 2° grado con regla de cálculo 

Miguel-Angel,

Más personas aue saben resolver ecuaciones de 2° grado. A la vuelta, en septiembre, volveremos con esta técnica. 

Cuadráticos saludos

Raimundo

[Teruteru314]

Si quieres algo bueno bueno como herramienta didáctica, bájate y prueba el Geogebra.

Llevo 2 horas probándolo y es una maravilla ... de fácil y completo; es mucho más simple de utilizar que mi Casio FX-2 Algebra. Olvídate del concepto CAD (Mathcad, Maple, Derive, etc.etc.)

Y aún no lo he explorado al completo, pero en la primera hora conseguí duplicar "from scratch" el ejemplo de líneas hiperbólicas que ya has visto.

Y a cualquiera de los co-foreros que le gusten las mates, no os lo perdáis ... es de licencia GNU, o sea, gratis ... y en español, euskera, catalan, galego, etc.etc.

http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=71&Itemid=55

Fascinados saludos

[AHMS]

HOLA ALVARO:     

YA LO HE INSTALADO, ESPERO, POCO A POCO ANALIZARLO Y VER SUS POSIBILIDADES, CARA A USARLO COMO "HERRAMIENTA DE LOS RECUERDOS"
      
RECUERDOSICOS SALUDOS
ANTONIO

[e-lento]

Snif... :'( primer intento de descarga fallido... (11,6 MB :-X)

Ya probaré métodos alternativos...

esperanzados saludos, :-\

[gma]

Si quieres algo bueno bueno como herramienta didáctica, bájate y prueba el Geogebra.

hola Alvaro

si que parece interesante  gracias

Gonzalo

[Teruteru314]

Me alegro Gonzalo.

Para mí es una gozada de programa ... apesar de ser Java 

[rcg]

Buenas noches compañeros de tropa,


Uno ya está de vuelta y listo para intentar de seguir el ritmo de marcha del foro. Puedo apreciar que la arena del foro sigue muy movidita. Me estoy poniendo al tanto de los acontecimientos ocurridos a lo largo de este mes de sol (aquí en nustro hemisferio, nuestros compañeros del otro lado del Ecuador opinarán lo contrario, con razón).

En primer lugar un JAPI BURDAY para nuestro JeFaZo por las velas que tiene que soplar en este memorable día.  . Sigue todavía un chavalito a la esquina del medio siglo  . ¿Qués un mediosiglo, incluso un siglo frente a la Historia del primer hombre con razón?  Ná de Ná. Así que, a seguir como joven.    .

¡Compartamos un brindis en honor a quien guía esta tropa de atípicos!   

PS, si sobra algo del pastel, guárdalo hasta nuestro próximo encuentro. 

Ya hemos vuelto a empezar el cole esta semana. Y con la "vuelta al cole", más motivación por la regla de cálculo han manifestado mis alumnos. Es impresionante el afán que tiene de aprender.

Después de hacer un repasito de lo que habíamos adquirido antes de las vacaciones, volvimos a tomar en serio la resolución de la ecuación de segundo grado : el trinomio  a(x^2) + b x + c = 0, que, como ,seguramente sabemos, también hemos escrito de la forma siguiente : (x^2) - s x + p = 0. En caso de tener solución (simple o doble), "s" es la suma de las soluciones o raíces y "p" el producto.

Hemos planteado los diversos casos de las expresiones "s" y "p". Así, esta semana analizamos sólo dos de ellos. 1º)cuando "s" es positivo y "p" también es positivo. En este caso, "s" es la sumo aritméticas de ambas raíces que son ambas positivas. Si la suma no se puede realizar, la ecuación no tiene solución. 2º) cuando "s" es positivo y "p" es negativo; en este caso, "s" es la resta aritmética de ambas raíces, pues una de ellas será positiva (la mayor) y la otra será negativa (la menor). En este segundo caso, siempre habrá solución (dos iguales o dos diferentes).

Tengo que reconocer que el acierto con el cual llegaban mis chicos era asombroso : aproximación con 2 e incluso 3 decimales de la mantisa efectiva de las soluciones contrastadas matemáticamente.   

La próxima semana seguiremos con los demás casos del trinomio cuadrático. Otra aventura, ya con pocos misterios. 

Alvaro, acabo de descargar GeoGebra, ya lo probaré y te diré qué tal. Confío que tiene que ser una maravilla y me vendrá muy bien.

Recuperadísticos saludos

Raimundo

[rcg]

Saludos a todos los foreros,

Este es el parte de lo aprendido esta semana con nuestras reglas de cálculo.
En primer lugar hemos continuado practicando la resolución de las ecuaciones de segundo grado con una sola incógnita.

De la expresión a(x^2) + b x + c = 0, hemos desarrollado la expresión a ((x^2) ? sx + p) = 0, donde s y p son, respectivamente, la suma y el producto de las dos soluciones (en caso de haber solución).

La semana pasada habíamos desarrollado los 2 siguientes casos :

1º)   s > 0 y p > 0 , la soluciones son positivas ambas
2º)   s > 0 y p < 0 , tiene dos soluciones, una positiva (con valor absoluto mayor) y otra negativa (con valor absoluto menor).

Esta semana hemos operado con los 2 últimos casos :

3º)   s < 0 y p > 0 , la soluciones son negativas ambas
2º)   s < 0 y p < 0 , tiene dos soluciones, una positiva (con valor absoluto menor) y otra negativa (con valor absoluto mayor)

A continuación, hemos empezado el estudio de la escala K de los cuadrados. Nuestro punto de partida fue la simple lectura de x^3) sobre K partiendo de x sobre D. Esta operación la hemos repetido con las escalas A, C y D con lectura final sobre A, aplicando la propiedad x^3 = (x^2) * x. Con x sobre A y su sqrt(x) sobre D multiplicado por x sobre C para leer el resultado parcial sobre D y convertir el resultado final sobre A. Cierto es que esta técnica es retorcida pero permite tener mejor aproximación en el resultado final. 

Siguiente operación, fue  (x^3) * y , con ayuda de las escalas K, D y C. Procedimiento similar a (x^2) * x.

Ha sido una semana muy atractiva con mucho mérito.

Alvaro,

Como te comentaba la ?Regla del Nueve?, en realidad está mal llamada. Pues, es válida sólo si se opera con nuestra base decimal. En otra base, ya no se puede hablar de ?Regla del Nueve?.

En realidad si trabajamos en una base cualquiera ?B?, este valor es una expresión en nuestra base 10, pero en su propia base B, sería 10. En efecto,  B(en base10) = 10(en base B), pues el 10 es siempre la expresión de la propia base. Así, 10(en base 29 = 2 (en base 10) o 10(en base 16) = 16 (en base 10). Por lo tanto, la Regla del Nueve tendría que llamarse ?Regla del 10 menos 1? o más exactamente la ?Regla de la Base menos 1?. Así, en base hexadecimal, la regla se convertiría en la ?Regla del 15?. En la base octal, sería la Regla del Siete?, etc.

Invito a nuestros amigos a que piensen acerca de esta particularidad.

Basemenosunísticos saludos

Raimundo

[e-lento]

A continuación, hemos empezado el estudio de la escala K de los cuadrados. Nuestro punto de partida fue la simple lectura de x^3) sobre K partiendo de x sobre D. Esta operación la hemos repetido con las escalas A, C y D con lectura final sobre A, aplicando la propiedad x^3 = (x^2) * x. Con x sobre A y su sqrt(x) sobre D multiplicado por x sobre C para leer el resultado parcial sobre D y convertir el resultado final sobre A.

Hola:

Según entiendo, has aplicado (x^2)*x = ((x)*raiz(x))^2 y de ahí el paso de A a D, multiplicación con C y subida a A al final.

Pero me ha parecido que si pones x en D, lo subes a A (x^2) y lo multiplicas por x en B da el mismo resultado, ¿no? (yo lo he probado para 2, 3 y 4 y sale). Imagino que, siguiendo este "truqui", si partes de escalas de raíz cuadrada (para poner el valor de x) y acabas en C y D (como cuadrados), todavía mejor. Incluso alguna regla tiene directamente escalas de raíz cúbica, pero que también irían a parar sobre C o D... 

No sé si en estas reglas con escalas de raices cuadradas y cúbicas se podría aumentar la precisión trabajando sólo con éstas... 

Vertiginosos saludos 

[rcg]

Amigo e-lento,

Lo que comentas es totalmente cierto, pero en clase utilizamos una FABER-CASTELL 52/80 MENTOR que carece de escala B. Y, cierto es, que es una pena. Por ello, intento que con menos escalas que una RIETZ pueden rentabilizar a lo sumo el número de operaciones. No obstante, esto es lo bonito, pues tenemos que ingeniarnos métodos operativos muy retorcidos para realizar lo que una RIETZ podría hacer fácilmente.

Cuando estudiaba, la regla de cálculo más utulizada era una RIETZ, yo conocía la ARISTO 903 SCHOLAR, que la mayopría de mis compañeros tenían. Otros utilizaban una MENTOR, sobre todo si estudiaban "Mercantiles o económicas" en Bachillerato, pues tienen escalas CF/DF/CIF muy útiles para esos fines, pero muy pobres en funciones logarítimas, trigonométricas y cuadráticas. Además, el tipo de regla de cálcul y su manejo estaban contemplados en los propios libros de texto y era materia de estudio, sobretodo al principio. Otros tiempos. Hoy día  recomiendan calculadoras científicas, pero muy pocos docentes explican cómo sacar el máximo provecho de ellas. Y lo que dicen los libros de texto, mejor no hablar de ello. Ha habido un equipo pedagógico y una riada de minsitros que han dado sobre la diana. Cuanto menos sepan, menos se preocupan y menos preguntan. Es una sociedad de ovejas.

Es cierto que todo lo que se pueda leer sobre las escalas C/D/CI es de doble precisión comparado a lo que se puede leer sobre A/B/BI, y es el triple de precisión comparado a lo que estarái en K. Pero, no olvidemos, que cuanto más operaciones realice mayor podría ser el error. Porque al operar con C/D/CI en lugar de A/B/BI y K, se suele requerir mayor número de operaciones. Y aquí está el compromiso. ¿Más precisión con mayor probabilidad de errores o menor precisión con menor probabilidad de errores? Nuestra política en clase es tener un error sobre el valor casi exacto inferior a 0,5 %.

Mentarísticos saludos

En lo que se refiere

[rcg]

Saludos amigos foreros,

Como suelo hacer todas las semanas, os hago parte de lo que hemos dado esta semana en clase.

Los limitamos esencialmente a operaciones mixtas con cubos haciendo intervenir las escalas C, D y, si necesario, CI, con la escala K.

Así realizamos las siguientes operaciones :

lecturas de valores en K de números en C/D    -   (a^3)*b   -    a/(b^3)   -   a^4 = (a^3)*a    -   
(a^3)*(b^3) = (a*b)^3    -     (a^3)/(b^3) = (a/b)^3   -    a^6 = (a*a)^3

Aprovechando estas operaciones cúbicas, hemos iniciado las primeras ecuaciones de tercer grado simples (podríamos decir simplísimas).

Así,  averiguamos el valor de x  en las siguientes ecuaciones :

(x^3)*a  = b   -     a/(x^3) = b  -   (x^3)*(a^3) = b    -     (x^3)/(a^3) = b  --> sin división o multipicación intermedia.

Hay que reconocer que es muy impresionante lo que se puede hacer con tres escalas.

Aprovechamos para realizar ecuaciones de grado mayor (en realidad serían raíces de índice 4 y 6) :

x^4 = a    y    x^6 = a        -->   sólo utilizando las escalas C y K, el primer caso y C-D y K, el segundo caso. Y todo ello sin recurrir a la división, ni tener que realizar las operaciones en dos estapas. Magia de la regla de cálculo.

Aprovechamos que algunas reglas disponen de trazo V sobre el curso para determinar volúmnes de esferas o diámetros de esferas conociendo el volumen de la misma.

La próxima semana empezaremos con extracciones de raíces cúbicas. Seguiremos con operaciones (multiplicaciones y divisiones) donde intervienen raíces cúbicas

Alvaro,

¿Acaso sabes si se pueden encontrar tres números enteros a, b, c de tal manera que exista otro d también entero que cumpla  (a^3) + (b^3) + (c^3) = (d^3)? Pienso que puede existir algún número, pero su comprabación no me parece fácil. Con un programa informático crear unas instrucciones que intenten verificar esta igualdad. Pero no estoy convencido de la exactitud de los valores de los cubo, cuando los números son grandes.

Dudosos saludos

Raimundo

[rcg]

Alvaro,

He descargado el Geogebra. Es un programa muy atractivo. Cierto es que se limita a realidades geométricas. En este campo es mucho mejor que otros, como el Derive.

Geogébricos saludos

Raimundo

[Teruteru314]

Rai,

No puedo dejar pasar un reto ...

¿Acaso sabes si se pueden encontrar tres números enteros a, b, c de tal manera que exista otro d también entero que cumpla  (a^3) + (b^3) + (c^3) = (d^3)?

Sí que se puede. Me llevó un par de horas montar el tinglado, pero aquí está:


Este programa ha sido capaz de encontrar todas las soluciones para enteros menores que 100 (82 soluciones, 100x100x100=1.000.000 verificaciones) en unos 20 segundos.

Resultados para enteros menores que 50:


-A-           -B-           -C-            -D-
 8              6             1               9
16   12   2   18
40   17   2   41
5   4   3   6
18   10   3   19
24   18   3   27
37   36   3   46
22   17   4   25
32   24   4   36
40   30   5   45
10   8   6   12
36   20   6   38
33   32   6   41
17   14   7   20
44   34   8   50
15   12   9   18
27   15   11   29
20   16   12   24
34   28   14   40
25   20   15   30
41   23   16   44
21   19   18   28
30   24   18   36
35   28   21   42
40   32   24   48
37   30   27   46

Si me envías a mi mail tu dirección de correo, te envío el programa ... o a cualquiera que le interese. Está hecho en Visual Basic 2005, y no es nada del otro mundo.

Simple trial and error logic 

[Teruteru314]

Rai, después de estudiar un poco más los resultados, me he encontrado con lo siguiente:

hay 889 combinaciones que cumplen los requisitos, con los enteros hasta 500

hay alrededor de 60 combinaciones (no las he verificado todas) en las que 2 de los 3 valores son iguales y el tercero diferente,
aquí van algunos ejemplos:

(A)            (B)           (C)           (D)
44   34   8   50             44^3=85184       34^3=39304      8^3=512           -->   85.184+39.304+512=125.000       <---> 50^3=125.000
44   34   29   53                    idem                   idem             29^3=24.389    -->    85.184+39.304+24.389=148.877  <--->53^3=148.877
         
54   30   9   57
54   30   22   58
         
88   68   16   100
88   68   58   106
         
99   96   18   123
99   96   94   139
         
102   84   42   120
102   84   49   121

 Esto es todavía más curioso que la profusión de soluciones al problema inicial !   

Encurioseados saludos.

[Teruteru314]

Este es otro caso curioso:

(A)      (B)   (C)   (D)
108     60   18   114
108     60   44   116
108   102   44   134

[rcg]

Amigo Alvaro,


Acabas de confirmar algo extraordinario : el nuevo Teorema de Fermat.   

Estaba con ello desde hace unos años. De hecho, he seguido muy de cerca su solución por el profesor Andrew Wiles, y por los que le precedieron, como Galois o Cantor. De hechi, ya en el Instituto me había siempre llamado la atención dicho postulado. Había intentado resolverlo pero sin éxito, me faltaba un buen ordenador. QUe cuando lo tuve, lo usé para otra demostración en los procesos aleatorios, donde tengo, mejor dicho tenemos, 3 compañeros de Instituto (2 italianos ambos hermanos y un español, el que escribe) un largo desarrollo teórico, una nueva teoría matemática algo diferente de la actual. Pero esto es otro tema.

Fermat postuló que era imposible encontrar tres números enteros a,b y c, con n > 2, de tal manera que

(a^n) + (b^n) = (c^n).

Fíjate, si n= 2  tenemos a Pitágoras, es decir  2 términos sumados = 1 término , y sí se cumple.

Si n = 1 , tenemos la mera igualdad  : (a^1) = (a^1)  -->  1 término = 1 término

Yo siempre he pensado que  si n es cualquiera,   n términos = 1 término, así con n = 3,

            (a^3) + (b^3) + (c^3) = (d^3)

                      3 términos = 1 término

¿Acaso con n= 4 podríamos escribir :  (a^4) + (b^4) + (c^4) + (d^4) = (e^4)?

¿Sería correcto afirmar que para n > 0, entero, existe (n+1) términos enteros (a1, a2, a3, ..., an y b) de tal manera que

                 (a1^n)+(a2^n)+....+(an^n) = (b^n)  ?


Puedes enviarme cualquier correo a esta dirección : raycadenas@wanadoo.es

Recuerda que mi primer saludo fue fermatístico.

Re-fermatístico saludo

Raimundo

[JLS]

Hola soy nuevo en el foro , lo cual me alegra el haber entrado , para seguir aprendiendo a utilizar la regla de calculo. Gracias a todos.
 

[AHMS]

HOLA JLS:

BIENVENIDO AL FANTASTICO Y MARAVILLOSO MUNDO DE LAS REGLAS DE CALCULO.
 
 
SALUDOS
ANTONIO