Problemas resueltos: la función de Gudermann

[Josep]

La función de Gudermann, que como su nombre NO indica fue introducida por Johann Heinrich Lambert, recibe su nombre acgtual de Christoph Gudermann, que la usó para relacionar funciones hiperbólicas y trigonométricas. La función de Gudermann relaciona un ángulo hiperbólico dado con un ángulo circular ("los de toda la vida") Esta función se escribe normalmente como 

\[ gd(\phi) = 2·atan(tanh(\frac{\phi}{2})) \]

Recordemos que

\[ tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}  \]

Por tanto,

\[ tanh(\frac{x}{2})=\frac{e^x-1}{e^x+1} \]

Y de aquí

\[ gd(x)=2·atan(\frac{e^x-1}{e^x+1}) \]

Como hemos dicho al principio, la fungción de Gudermann relaciona ángulos hiperbólicos (y sus funciones) con ángulos trigonométricos (y sus funciones) . Más concretamente

\[ tan(gd(x))=sinh(x), sec(gd(x))=cosh(x), sin(gd(x))=tanh(x) \]

Todo esto con ángulos expresados en radianes, claro. Si queremos usar ángulos en grados habrá que usar las escalas D (ángulo en radianes) y ST (angulo en grados dividido por 10)  para convertir entre una "unidad" y otra. Las comillas de "unidad" las pongo porque como relación entre dos longitudes, ni radianes ni grados tienen dimensiones, como se puede saber "fácilmente" -pun intended- con una K&E Analon   

Esta es la función que algunas pocas reglas (La Sun Hemmi 153 y la FLying Fish 1018) tienen. Y esto... ¿para qué sirve? Pues como método alternativo para calcular funciones hiperbólicas si la regla de cálculo no tiene. Para x>0, e^x siempre será un número mayor que uno, por lo que las sumas y restas necesarias para calcular la función hiperbólica según la definición ortodoxa se facilitan: sólo hay que sumar y/o restar 1 a un número mayor que 1 y eso para los humanos es muy fácil

[roger]

Hola Josep.

En este hilo llegamos a describir el funcionamiento de las escalas:

https://arc.reglasdecalculo.org/index.php?topic=3559.msg31466#msg31466

Por si te animas a completarlo, seguro que se nos escapó algo.

Un saludo.

[gma]

En el hilo que cita roger (de hace 6 años) se ve que había mas ganas de descubrir cosas  y hasta resultó que algunos de los foreros tenían este tipo de regla sin saberlo...

Gracias Josep por las explicaciones !!!

Regliles_saludos

Gonzalo

[Josep]

Bueno, es que...

https://arc.reglasdecalculo.org/index.php?topic=4357.0

Me encantan las reglas con escalas "raras"