Re: Problemas resueltos -Impledancias complejas en paralelo 1/4

[Josep]

Cálculo de impedancias complejas en paralelo

Recordemos que para impedancias (Z) en paralelo se suman las admitancias, es decir \[ \frac{1}{Z} =\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} = \frac{Z_1+Z_2}{Z_1·Z_2} => Z= \frac{Z_1·Z_2}{Z_1+Z_2} \]

Las impedancias pueden ser de tres tipos: resistivas(R), capacitivas(C)-condensadores- e inductivas(L)-bobinas- (supondremos que no hay impedancias parásitas). Los valores de estas impedancias son \[ Z_R=R , Z_C=\frac{1}{2j\pi FC},Z_L=2j\pi F L \]
donde R= resistencia en ohmios, C=capacidad en faradios, L = inductancia en Henrios, F = frecuencia en s^-1, j es la raíz cuadrada de -1 1 y pi es la bien conocida constante que da la relación entre el diámetro de una circunferencia y su longitud

En electricidad y electrónica se consideran tres tipos de circuitos: RC (resistencia y condensador en paralelo), RL (resistencia y bobina en paralelo) y RLC (resistencia, condensador y bobina en paralelo. Normalmente, las impedancias complejas se representan como X, qu epuestas en paralelo con una resitencia dan lugar a \[ Z=\frac{RjX}{R+jX}=\frac{RjX}{R+jX}·\frac{R-jX}{R-jX}=\frac{jR^2X+RX^2}{R^2+X^2}=\frac{RX}{R^2+X^2}(jR+X) \]

Vemos que el resultado es un número complejo, que expresaremos en forma polar (módulo y ángulo)

EL ángulo es, obviamente \[ \phi=atan(\frac{R}{X}) \] y el módulo es \[ Z=\frac{RX}{R^2+X^2}\sqrt{R^2+X^2}=\frac{RX}{\sqrt{R^2+X^2}}=\frac{RX}{X\sqrt{1+\frac{R^2}{X^2}}}=\frac{R}{\sqrt{1+\frac{R^2}{X^2}}} \]

Vemos que el cociente R/X ya lo utilizamos para la fase. Toda esta transformación es, obviamente, para facilitar el cálculo con regla. Después de comer, más

[Josep]

Ok, ahora hay que sustituir en la fórmula los valore de X para condensadores y bobinas

Para un circuito RC  \[  \frac{R}{X} = \frac{R}{\frac{1}{2\pi FC}} = 2\pi FCR \]

Por tanto, \[ \phi=- atan(2\pi FCR) , Z=\frac{R}{\sqrt{1+(2\pi FCR)^2}}  \] 

El cambio de signo del ángulo se debe a que para un condensador, \( X=\frac{1}{2·\pi·j·F·C} = \frac{-j}{2·\pi·F·C}=-j·X \)

He usado una regla con escalas trigonométricas en el cuerpo. Habrá que hacer los ajustes oportunos si están en la regleta
Es MUY recomendable que la regla tenga escala DI

En la regla operamos así:
1) Cursor a DF= π y Regleta CF=5 bajo el cursor
2) Cursor a C=Frecuencia leemos en D 2*pi*Frecuencia. Esta es la frecuancia angular (radianes/seg) y podemos anotarla para ahorrar tiempo en otros cálculos
3) Sin mover el cursor, desplazamos la regleta hasta que la Capacidad en la escala CI esté bajo el cursor.Bajo C=1 leemos en D 2piFC y en DI (si está disponible) la impedancia del condensador. Movemos el cursor a C=R  y leemos en D el valor 2piFCR y en T el ángulo del resultado 
4) Ahora viene la parte complicada. Leemos el valor en la escala A bajo el cursor y sumamos mentalmente 1. Movemos el cursor hasta ese valor y en D tenemos \( \sqrt{1+{2 \pi FCR}^2} \)
5) Sin mover el cursor,desplazamos la regleta hasta C=R esté bajo el cursor. Bajo el índice de C en DI leemos el módulo de Z y en D, su inverso
 

[Josep]

Para un circuito RL

\[  \frac{R}{X}=\frac{R}{2\pi FL}  \]

De aquí \[  \phi=atan(\frac{R}{2\pi FL}), Z=\frac{R}{\sqrt{1+(\frac{R}{2\pi FL})^2}}      \]


Y en la regla
1) Cursor a DF=5, y C=Frecuencia sobre cursor. Movemos le cursor al ínidce de C. Tenemos en DI (si está disponible) la frecuencia angular y en CI=L tenemos en DI la impedancia de la bobina
2) Sin tocar el cursor, movemos la regleta hasta C=L esté bajo el cursor. En C=1 tenemos en DI la impedancia de la bobina de nuevo, en C=R tenemos R/2piFL en D y el ángulo de la impedancia en T
3) Leemos el valor bajo el cursor en A y sumamos 1 mentalmente. Movemos el cursor hasta ese valor en A
4) Movemos R en CI bajo el cursor y el el índice de C tenemos en D el módulo

[Josep]

Circuito RLC paralelo

Este circuito se reduce a uno de los casos anteriores, con una salvedad, que veremos. Primero, encontramos la impedancia en paralelo de una bobina y un condensador

De la fórmula de dos impedancias en paralelo \[ Z=\frac{Z_L Z_C}{Z_L+Z_C}=\frac{\frac{2j \pi F L}{2j\pi F C}}{2j\pi FL + \frac{1}{2j\pi FC}}   = \frac{j2\pi FL}{1-(2\pi F)^2 LC}   \]

y aquí está la salvedad: si el cociente es positivo, trataremos el problema como un circuito RL con la impedancia que resulte del cálculo, si es negativo, como un circuito RC, y si es cero... la impedancia del conjunto LC es infinita. La impedancia del conjunto RLC será pues igual a R, y puramente resistiva

[roger]

Lo que se está perdiendo AHMS.

Ande andará?

[Estanlaurel]

Lo que se está perdiendo AHMS.

Ande andará?

Anda por Facebook, escribiendo en su muro y en grupos de reglas de cálculo. Las redes sociales están desplazando a los foros y yo no estoy libre de culpa por ello.

[jfz62]

Anda por Facebook, escribiendo en su muro y en grupos de reglas de cálculo. Las redes sociales están desplazando a los foros y yo no estoy libre de culpa por ello.

 Ahora si que estoy fuera de juego     ¿Libre de culpa porqué? 

  Estrañados Saludos

[gma]

Anda por Facebook, ............

Lo confirmo y sin dibujitos de ratones y demás

https://www.facebook.com/profile.php?id=100004724022003

[Estanlaurel]

 Ahora si que estoy fuera de juego     ¿Libre de culpa porqué? 

  Estrañados Saludos

No estoy libre de la culpa de publicar muchas cosas en facebook.