Re: Problemas resueltos - pago de préstamos a interés compuesto

[Josep]

Pago de un préstamo (sacado del manual de la Post 1460 Versalog II, disponible en ISRM y muy recomendable por la cantidad de problemas resueltos que incorpora)

Supondremos interés constante, por no liarlo

La fórmula para calcular las cuotas de un préstamo es \( P=Q(\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}) => Q=P\frac{r}{1-(1+r)^{-n}} \)

Donde
P = cantidad que pedimos en préstamo
Q= cuota que pagaremos
r= interés por cadaperiodo de pago (si se paga por meses, como es habitual, será el interés que nos diga el banco /12)
n = número de períodos de pago (si se paga por meses, serán los años que nos diga el banco *12)

Esto, que parece muy complicado, para una regla es pan comido 

Supondremos un préstamo de 60000 € a 20 años al 4%

SI el interés es inferior al 12% anual
1) Ponemos el cursor sobre el interés anual en D.
2) Movemos la reglilla hasta que 1.2 (12 meses) esté sobre el cursor
3) Movemos el cursor hasta el índice de C. Aquí está en D el interés mensual r=0,003333 y en LL00 1+r

Si el interés fuera inferior al 1% anual, usaríamos la escala virtual "LL-1", construida sobre la escala D como 1.000+D/10000).
Si la regla no tiene escala LL0, usa la escala D asumiendo que delante de cada número va 1.00

En cualquier caso, 1+r seguiría estando bajo el cursor y por tanto, ya tenemos el índice de C sobre el número en las escalas LL que vamos a usar para elevar. 

4) Elevamos el número al número de pagos mediante las escalas LL . En este caso, 20*12=240 (podemos calcularlo previamente con la regla o mentalmente)  Como el exponente en la fórmula es negativo, miramos en  las escalas LL0x y en LL02 y allí encontramos el valor 0,4505
5)Restamos mentalmente este valor de 1, y obtenemos aproximadamente 0,55 (0,5495 si queremos afinar más)
6) dividimos r (que sigue en la escala D bajo el índice de C, ya que no hemos movido la reglilla) por este valor y multiplicamos por el importe del préstamo

En la regla obtengo 363,5. Excel dice que son 363,59 (un error del -0,025%)

Explicado parece complicado, peor con la regla en la mano es sorprendentemente fácil

NOTAS.

Si el interés es superior al 12% anual, entonces habría que buscar el valor en al escala LL1 después del paso 3) , lo que sería una operación  más, pero mi consejo es que si el préstamo tiene ese interés... ¡NO LO TOMÉIS!
 

[Pablo Serrano]

Con una regla normalita como la mía con tres escalas exponenciales y donde por tanto, el valor más pequeño para la exponencial positiva es 1,01 tampoco hay mayor problema en asumir la aproximación por el primer término de la serie de Taylor, esto es, \( e^x= 1+x \), o bien la inversa, \( \ln(1+x)= x \). Así, algo como lo que planteas en tu ejemplo es:

\( 1,0033^{240}= e^{240 \times \ln1,0033}= e^{240 \times 0,0033}= e^{0,792} \)

Por supuesto, es preferible tener cuatro escalas exponenciales, pero con 3  se hace el apaño perfectamente. Muchísimo más importante veo el detalle de la 2/83 N de tener la escala de logaritmos decimales ligada a las dos escalas de raíces, cosa que muy pocas otras reglas tienen. Esto he comprobado que es básico para obtener algo de precisión manejando exponenciales grandes como por ejemplo en el famoso ejemplo del ajedrez y los granos de arroz, yo con mi regla apenas llego a que \( 2^{64} \) es algo que está cerca de \( 2 \cdot 10 ^{19} \), cuando el resultado debe ser \( 1,845 \cdot 10^{19} \), cosa que se aproxima mucho mejor con una 2/83 N, o con una regla de 50 cm.

Exponenciosos saludos.

[Josep]

Para el caso que planteo, es más fàcil asumir que la escala D es la LL0 (añadiendo 1.00 a cada número) . De ests modo, cuando calculas el interés mensual, obtienes 1+r sin necesidad de cálculos mentales ni mover la regla. Además, como para calcular \( (1+r)^{-n} \)  no hay que mover la regleta, tienes ya a punto r para dividirlo por \( 1-(1+r)^{-n} \)

Se trata de ahorrar pasos

[Pablo Serrano]

Para el caso que planteo, es más fàcil asumir que la escala D es la LL0 (añadiendo 1.00 a cada número) . De ests modo, cuando calculas el interés mensual, obtienes 1+r sin necesidad de cálculos mentales ni mover la regla. Además, como para calcular \( (1+r)^{-n} \)  no hay que mover la regleta, tienes ya a punto r para dividirlo por \( 1-(1+r)^{-n} \)

Se trata de ahorrar pasos

En realidad es lo mismo. Al final se trata de considerar la aproximación de la serie de Taylor, al igual que ocurre con la escala ST, lo que a mí me pasa, y esto ya es una manía personal, tengo que reconocerlo, es que siempre prefiero expresar lo que hago mediante su correspondiente explicación matemática. En caso contrario se me parece demasiado a una receta memorística, algo a lo que soy alérgico.

En esto de las reglas de cálculo he visto muchos manuales que al final tratan de dar métodos paso a paso en el sentido de cuáles son los movimientos que hay que hacer. En este sentido me refiero al por lo demás, magnífico manual de Faber Castell para el uso de las reglas 2/82 N y 2/83 N que está en sliderulemuseum y que Jorge tuvo la deferencia de pasarme traducido, vienen un montón de trucos buenísimos (el que más me gusta es el método para pasar de polares a cartesianas y viceversa con un simple movimiento del cursor), pero solamente fui capaz de asimilar esos trucos cuando comprendía de verdad la fórmula que había detrás.

O por ejemplo hay otros manuales que se hacen un verdadero follón para estimar correctamente el orden de magnitud de una cadena de productos y divisiones, cuando lo que está detrás es la simple notación científica, igual pasa en la explicación para hacer raíces cuadradas o cúbicas usando las escalas A y K

Ya digo que quizás es una manía personal muy mía, pero prefiero pensar en términos de serie de Taylor que en términos de un uno coma lo que sea al que le quito un uno, aunque en realidad sea lo mismo.

Maniáticos saludos.

[Josep]

Ya. En este caso, he aprovechado que si el interés anual és r 1+r/12 para r <= 0,12 (interés en tanto por 1) es un númeor de la escala LL0 que coincide con r en al escala D porque los fabricantes o hacían directamente la escala LL0/LL00  mediante la aproximación \( e^x=1+x \) para valores de x muy cercanos a 0 o, aunque lo hicieran "legalmente" la aproximación es tan buena -varía el sexto dígito significativo, como mucho-  que con una RC no hay diferencia. Podríamso decir que es una "feliz coincidencia"

Para poner la coma, yo siempre he puesto todos los números como mantisa entre 1 y 10 x 10^exponente. Sumas exponentes, un poco de sentido común con las mantisas  y se acabó el problema