Explorando los límites de la regla de cálculo

[Pablo Serrano]

Continuando con lo que vengo haciendo en las últimas semanas, me ha dado por inventarme cálculos que pongan al límite a la regla de cálculo, no por ser exactamente muy complicados sino por forzar las escalas más allá de lo razonable, que es donde creo que la cosa se pone interesante.  Por poner algo de contexto mi regla es una FC 2/82 N, que visto lo visto, cada día me parece mejor cacharro. Así aprovechando que es viernes por la tarde y para desconectar del curro me he planteado el siguiente cálculo:

\[ \left(\frac {323 \times 0,075}{3892 \times 63 \times 0,15} \right)^{\ln\left( \tanh\sqrt{\frac{35}{4}}\right)} \]

Bueno, la base no tiene mayor dificultad, salvo estimar bien el orden de magnitud por aquello de los decimales, pero no es más que una simple sucesión de productos y divisiones, cuyo resultado se obtiene sin dificultad y da \( 6,62 \cdot 10^{-4} \). La dificultad, y gorda, está en el exponente. Para los que estén acostumbrados a las funciones hiperbólicas ya se ve que el argumento para la tangente hiperbólica es muy grande, alrededor de \( 3 \), con lo que la tangente hiperbólica va a irse muy cerca de \( 1 \), con lo que su logaritmo se va muy cerca de \( 0 \). Y ahí ya la hemos liado porque queda un número muy pequeñito elevado a otro número muy pequeñito, lo que se parece bastante a \( 0^0 \); como ambos números no son iguales, de hecho uno es positivo (base) y el otro es negativo (exponente, ya que es el logaritmo de un número menor que \( 1 \)), no cabe suponer que el resultado se tenga que parecer a \( 1 \), sino que en principio puede ser cualquier resultado. Este es el reto.

Bien, la tangente hiperbólica  en sí no tiene mayor dificultad de cálculo. Primero hacemos la división, después la raíz cuadrada y después miramos en las escala exponenciales y finalmente nos queda:

\[ \tanh \sqrt {\frac {35}{4}}= \frac {19,4-0,051}{19,4+0,051} = 0,995 \]

Y claro, el problema de verdad es calcular con algún grado de exactitud \( \ln 0,995 \).

En mi regla, esto se sale de la escala exponencial, y además la estrategia de hacer \(  \ln 0,995 = \ln 9,95 - \ln 10 \)  no sirve de nada porque no se distingue con suficiente precisión entre las dos marcas.

Sí que forzando mucho la máquina se puede sacar algo de la escala L:

\[ \ln 0,995= \ln 10 \cdot \log 0,995= -2,30 \cdot 0,002=-0,0046  \]

Pero ya digo que esto es forzando mucho pero mucho la lectura en la escala L. Así que como no me fío de que esto sea significativo, hay que recurrir al cálculo infinitesimal y aproximar el logaritmo neperiano por el primer término de su serie de Taylor y así escribir:

\[ \ln(1+x) \approx x \rightarrow \ln 0,995 \approx -0,005 \]

Como esto es lo mejor que tengo, sigo y tenemos que calcular:

\[ (6,64 \cdot 10^{-4})^{-0,005}= 10^{-0,005 \cdot  \log 0,000664 }= 10^{-0,005 \cdot (-4+0,822)}= 10^{0,0159}= 1,04 \]

Todos estos cálculos se hacen con la regla sin mayor problema, la cuestión es ¿nos hemos acercado al resultado? Sinceramente cuando hice el cálculo no tenía ni idea de si estaba cerca o no por todo lo que he explicado; pero al hacer el cálculo con la calculadora el resultado ha sido sorprendente, da \( 1,0403 \).

El resultado sencillamente me ha dejado alucinado, me esperaba un error del \( 50 \% \) o más y con eso me habría quedado satisfecho.

Y todo esto con un cacho de plástico con rayas de colores.

Calculísticos saludos.

[e-lento]