Mis escalas para Distribución normal estandar acumulada

[gcasta]

En el camino de terminar de definir qué configuración de escalas le pondría a mi regla Quad y de aprender Galva creando mi propio conjunto de escalas, llegué a la creación de mis propias escalas Distribución normal estandar acumulada.

Al empezar hice una búsqueda rápida en Google y no encontré nada al respecto, así que comencé desde cero. Recién ahora, al escribir esto se me ocurre buscar en el vastísimo foro ARC, para encontrar que ya se ha tratado el tema de las reglas para estadística. 

Todavía no me fijé si alguna regla usa una escala similar o igual a la que hice (o algo mucho mejor).

Decidí que haría escalas que indiquen el área bajo la curva, en particular el área de la cola de la derecha de la campana de Gauss. Esto sería que con z en la escala D, la nueva escala mostrará 1-PHI(z). Esto representa la probabilidad de que un suceso estadístico sea mayor que z.
Consideré también la inversa (z en la escala nueva, el área en D), pero requeriría más cantidad de escalas para el mismo rango.

De https://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_normal_est%C3%A1ndar:



Hice dos tramos que denominé ND1 y ND2.
ND1 brinda el área de la cola derecha para valores de z entre 1 y 10, dando áreas entre 0,159 y 1E-7.
ND2 brinda el área de la cola derecha para valores de z entre 0,1 y 1, dando áreas entre 0,46 y 0,159.
Se podría extender a más escalas pero creo que esos rangos son suficientes, al menos para los casos que yo vi cuando estudié estadística. Sería fácil crear un ND3 o más llegado el caso.

Sin más vueltas, estas son las escalas, junto a D:



Si se fijan, queda resto para agregar marcas en la escala ND1, pero pienso que probabilidades por debajo de 0,00001% ya no hacen falta. Se puede estirar si alguien lo cree necesario.

¿No es curioso que con tanta variante de reglas de cálculo, las de estadísticas no sean más comunes? 

Distribuciosos saludos

[gma]

¡Bravo! 

Por si te puede ayudar aquí te dejo este artículo de la O.S. sobre la Pickett N525-ES:

https://sliderules.lovett.com/cookiedev/cutdownextendeddisplayarticle.cgi?match=simona.m.vandersalmxxxjournaloftheoughtredsocietyvol.26,no.1,2017pg11.1.jpg

Puede que algunas de estas reglas traten las estadísticas:

http://www.steves-sliderules.info/specialtyrules.html#Mat

Estadísticos_saludos
Gonzalo

[e-lento]

¿Cuál es la distribución estadística de las reglas de estadística? 

En fin, de vez en cuando van saliendo reglas para estadística... pero creo que son de uso muy específico... Quizá es una ciencia que evolucionó muy al final del reinado de las reglas, y por el bajo volumen de ventas quedaron relegadas a diseños en cartón (slide charts o similares). 

Admirados saludos, 

[gcasta]

En fin, de vez en cuando van saliendo reglas para estadística... pero creo que son de uso muy específico... Quizá es una ciencia que evolucionó muy al final del reinado de las reglas, y por el bajo volumen de ventas quedaron relegadas a diseños en cartón (slide charts o similares). 

Interesante teoría!

Puede que algunas de estas reglas traten las estadísticas:
http://www.steves-sliderules.info/specialtyrules.html#Mat

Gracias! Las estuve mirando.
Ninguna tendría la configuración que yo usé, asociada al escala D.

Por ejemplo la Picket N525-ES de la que hay un simulador aquí: http://solo.dc3.com/VirtRule/n525es/virtual-n525-es.html
usa un par de escalas z y PL que conforman una tabla para PHI(z).
La ventaja de independizarse de D es que puede extender al rango deseado. Usa un rango de z=0 a z=3.
Igual que mi diseño, ocupa 2 escalas. Pero no puede usar el resultado para cálculos encadenados.

Lo mismo hace la Perrygraft http://www.steves-sliderules.info/rule%20code/Perrygraf%20PSR.html que en realidad no es una regla de cálculo sino más un nomograma circular. Aquí z va de 0 a 4. Y suma otras dos distribuciones.

Del resto muchas no tienen distribución normal, o bien no me queda muy claro como operan.

Investigativos saludos

[Teruteru314]

gcasta, yo tengo una observacion sobre la escala ND1 ... más bien sobre su nomenclatura.

Comenzando por el valor 0.001 (que en notacion científica sería 1E-3)
el siguiente valor es 0.0005, que sería 5E-4
Luego pones 10E-5, notacion que considero incorrecta; debería ser 1E-4
Y las sucesivas  deberían ser (por coherencia)
   10E-6  ---> 1E-5
   10E-7  ---> 1E-6
Curiosamente, 1E-7 está correctamente situado.

Adicionalmente, y por criticar algo, cortaría la línea de base de ND1 en el último valor marcado, en 1E-7

Criticones saludos

PS: No es que entienda mucho de estadística ... el día que dieron esa clase yo falté por enfermedad   

[gcasta]

Comenzando por el valor 0.001 (que en notacion científica sería 1E-3)
el siguiente valor es 0.0005, que sería 5E-4
Luego pones 10E-5, notacion que considero incorrecta; debería ser 1E-4
Y las sucesivas  deberían ser (por coherencia)
   10E-6  ---> 1E-5
   10E-7  ---> 1E-6
Curiosamente, 1E-7 está correctamente situado.

De acuerdo con mejorar esas etiquetas usando 1E-X en vez de 10E-Y. Me queda para corregir.
No me queda claro si además dices que están mal ubicadas.

Adicionalmente, y por criticar algo, cortaría la línea de base de ND1 en el último valor marcado, en 1E-7

Si, yo también lo había pensado y está pendiente.
De hecho también pensé en quitar por completo todas las lineas horizontales y ver cómo queda. Muchas reglas son así.

Gracias por las observaciones!

Saludos

[Teruteru314]

No me queda claro si además dices que están mal ubicadas.

Al normalizar la notación (usando 1E en lugar de 10E), esos valores quedan en el lugar correcto, y en consonancia con 1E-7.

[gcasta]

Corregidas las etiquetas en notación científica, quitada la linea base, y estirada la escala ND1 hasta z=6:



Ya están disponibles para ARC los archivos para crear todas estas escalas y un completo set adicional.

Están hechos para Galva V2.61c, la última versión en la Web. Es posible que no funcionen en versiones anteriores.

https://reglasdecalculo.org/upload/index.php?direction=0&order=nom&directory=BRICOLAJE%2FGC_Galva_Lineales&

Saludos

[Teruteru314]

Guillermo, hay algo que no me cuadra o no entiendo, entre los valores de ND1 y ND2 y la gráfica que incluiste más arriba.

Entiendo que el valor "x" al que hacen referencia las ND corresponde al valor de D, asu vez a "t" del gráfico.

Entiendo también que "z", cuando x=0, es igual a 0.4

ND1 brinda el área de la cola derecha para valores de z entre 1 y 10, dando áreas entre 0,159 y 1E-7.
ND2 brinda el área de la cola derecha para valores de z entre 0,1 y 1, dando áreas entre 0,46 y 0,159.

No debería decir " ... para valores de X entre 1 y 10 ...", en lugar de "z" ?

Y la otra pregunta es: porqué graficar la "cola derecha" en lugar de la izquierda? Me parece que tiene más sentido saber la población "hasta el percentil", como muestra la zona sombreada de la gráfica ...

Repito que falté a esa clase 

Faltones saludos

[gcasta]

No debería decir " ... para valores de X entre 1 y 10 ...", en lugar de "z" ?

¡Buena pregunta!

Hay una confusión con las Z's que figuran en el gráfico que tomé de Wikipedia, ya que hay dos Z’s distintas en juego. Dejame tratar de explicarlo  renombrando las funciones.
No me quiero meter a dar una clase teórica, así que lo siguiente no pretende ser ni formal ni completo ni preciso. Hace años que estudié esto y no lo tengo tan fresco como para dar clase. A ver si lo logro aclarar…

Primero el concepto de que hay una función, la campana de Gauss que representa la probabilidad de que una variable ALEATORIA CONTINUA tome un determinado valor. Es como se agrupan los individuos de una población según alguna característica medida por un número Real.
Para una variable aleatoria discreta, por ejemplo tirar dos dados y ver cuanto suman, se puede graficar lo siguiente:
 


Y para 3 dados:
 


Se ve que empieza a tomar forma de campana. La campana de Gauss es una curva que modela la distribución para una variable aleatoria CONTINUA.
Da la probabilidad de que un individuo tenga determinado valor.

Ese es el z que menciona el gráfico que tomé de Wikipedia, pero que genera confusión con otro Z que veremos después.
La función z(t) que figura allí representa a la curva de la campana de Gauss ESTANDAR (después vuelvo sobre este término).

Mejor renombrar z(t) como f(x), entonces:

Función de densidad normal estandar:
        f(x) = (1/sqrt(2pi))e^(-x2/2)
 


Pero si bien en variable discreta (los dados) tiene sentido preguntarse la probabilidad de que tome un determinado valor exacto (que sume 7 digamos), eso no tiene sentido en variable continua. Por ello en variable continua lo que interesa es la integral (área debajo de la campana) en dos valores determinados.

Entonces diremos ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo tenga un valor entre dos valores a y b. Entonces se define la función Integral, que es la realmente útil a nivel práctico.

2. Integral Normal



Esta Q(X) es lo que en el gráfico de Wikipedia figura como PHI(Z), la curva roja.

Como esta integral no puede calcularse mediante funciones primitivas, siempre se han usado tablas para saber su valor. Con la computación digital se comenzaron a usar o bien cálculos mediante funciones que la aproximan, o bien algoritmos de cálculo numérico.

Hay que saber que el área total bajo la curva es 1, ya que representa probabilidades.

¿Por qué hablamos de ESTANDAR? (acá viene la segunda Z)

Estándar quiere decir que se normalizó una curva para que pueda servir para cualquier media (mu) y desviación normal (sigma) que pueda tener una variable. Esto dado que diferentes muestras de diferentes variables tendrán diferentes campanas (en este gráfico usaron m pa la media, yo uso mu; y dt para la desviación, yo uso sigma):

 

La media define donde está centrada la campana, la desviación normal que tal alta o achatada es.

Ejemplo, si los alumnos de un curso se sacan notas parecidas y cercanas a 7 digamos estará centrada en mu=7 y será alta y angosta (desviación=sigma chico).

Si otro curso se saca notas de lo más variadas podría estar centrada en mu=5 y sería más chata y baja (desviación=sigma grande). Ambas pueden llevarse a una curva normal para simplificar la búsqueda en una única tabla de desviación normal estándar.

Otro ejemplo. Si nuestra variable representara los mililitros con que una embotelladora llena sus botellas de cerveza, quizás podría tener una media mu = 1010 ml, con una desviación estándar sigma = 9,5 ml.

Es posible llevar esto a una curva estandarizada para media = 0 y desviación estándar = 1. Esto se hace mediante la transformación:



donde:

   mu = media (promedio)
   sigma = desviación normal estándar
   X = valor en ml a testear
   Z = valor a testear transformado para curva ESTANDAR (este es el Z que puse en la escala D!)

Esto “le quita” la media y la desviación a nuestra variable X, y la transforma en una Z que sirve para la función ESTANDAR que tiene sigma=1 y mu=0.
Esa es la curva ESTANDAR. Y con una sola curva podemos calcular para cualquier variable.

Por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad en nuestro ejemplo de que una botella de cerveza termine llena con 1030 ml o más? Recordar que la embotelladora tiene mu = 1010 ml y Desviación estándar sigma = 9,5 ml.

Nos piden P(X>=1030)

Usamos que Z = (X-mu)/sigma para trasnformar a estandar.

   Z = (1030 – 1010) / 9,5 = 2,11 (llevamos la X a Z para poder buscar en curva ESTANDAR)

Buscamos la integral de la cola derecha (por lo de mayor o igual) para Z = 2,11.

Es decir buscamos Q(2,11) = 1-PHI(2,11)  (el area de la derecha es 1 menos el área desde -infinito a 2,11).



Buscando en la escala D=2,11 llegamos a la escala ND1 donde vemos que Q(2,11)=0,0175 = 1,75%

Hay un 1,75% de probabilidades de que una botella se llene con 1.030 ml o más.

Ese ejemplo sin normalizar se graficaría (el eje es X):

 

Mismo ejemplo normalizado se graficaría (el eje es Z):
 

Y la otra pregunta es: porqué graficar la "cola derecha" en lugar de la izquierda? Me parece que tiene más sentido saber la población "hasta el percentil", como muestra la zona sombreada de la gráfica ...

Se usan varias formas, todas son válidas. Elegí la que mas práctica me parece.

1) PHI(z) se define como el área desde -inf a z. Por ejemplo sirve para contestar la pregunta ¿Cuál es la probabilidad de encontrar botellas con menos de X mililitros?

2) Usar 1-PHI(z) como hice yo sirve para contestar la pregunta ¿Cuál es la probabilidad de encontrar botellas que tengan como mínimo X mililitros?

3) También se usan tablas que brindan el área entre dos valores -z a +z. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar botellas que no se separen de la media en más de X mililitros? Este caso se calcularía P = PHI(Z)-PHI(-Z) , o con mi escala 1 – 2*(1-PHI(Z)), mas difícil escribirlo que hacerlo. Es 1 menos dos veces el valor de la cola derecha que da la escala.
 
Es fácil convertir de una forma a otra dado que el área bajo la curva es 1, y la curva  de desviación normal estándar es simétrica y centrada en cero.


No se si aclaré algo o generé mas confusión

Confundiaclaradores saludos

[gcasta]

Y Ahora, trabajo para el hogar.

Para el ejemplo de la embotelladora, y usando las escalas ND1 o ND2, ¿cuál es la probabilidad de que una botella tenga menos de 1000 ml?

 

[Teruteru314]

Yo haría esta cuenta:

1-Q(1000/1010) = 0.84 --> 84% de probabilidad

 

[gcasta]

Casi.

Nos piden P(X<1000)

Usamos que Z = (X-mu)/sigma para transformar a estandar.

   Z = (1000 – 1010) / 9,5 = -1,053

Nos piden la cola izquierda hasta Z=-1,053. Por simetría es lo mismo que la cola de la derecha desde Z=+1,053

Buscamos Q(1,053) = 1-PHI(1,053)

En la escala D=1,053 llegamos a la escala ND1 donde vemos que Q(1,053)=0,146=14,6%

Hay un 14,6% de probabilidades de que una botella tenga menos de 1 litro.

[Teruteru314]

MEcachis! Olvidé la desviacion estandar !