El Problema en la Isla de Gilligan

[e-lento]

Ahora que empieza el verano, un problema a resolver...

Ayer, intentando ordenar un poco los ficheros bajados de internet (otro día podríamos comentar cómo ordenar, clasificar... de modo que se pueda encontrar la información de nuevo), di con una presentación americana sobre las reglas de cálculo, donde se planteaba este problema:

Estamos en una isla (aquí hace referencia a esta serie "la Isla de Gilligan" que parece que fue un éxito por allá los 70 en los EEUU) y te planteas diseñar una regla de cálculo, sin tener calculadoras.

  ¿Cómo hacerlo partiendo sólo de aritmética y geometría? Se trata de obtener las escalas básicas...

Imagino que tampoco vale tener un libro con las tablas de logaritmos... 

Retadores saludos,

[rcg]

Cierto que es un problema muy delicado. Si hay calculadores es porque ha habido reglas de cálculo con las cuales se oude llegar a crear claculadoras, pero lo contrario es muy difícil imaginar. 

No obstante, hubo muchas regals de cálculo y a finales del s. XVI - principio del s XVII, se inventó lo que es hoy la regla de cálculo. Cierto es más simple que las que concocemos ahora.

De todos modos hace tan sólo 300 años, con pocos medios tipográficos y de imprenta se sacaron reglas de cálculo. 

¿Cabría pensar que el individuo en la isla tendría que tomar papel y lápiz y a calcular. Con mucha aritmética y muchas series de funciones y más cosas.  Un artista. 


Isla-ísticos saludos

Raimundo

[Teruteru314]

Yo empezaría haciendo algo de memoria, con los logaritmos más conocidos y comunes:

log(1)  = 0
log(2)  = 0.30103
log(3)  = 0.47712
log(4)  = 2*log(2) = 0.60206
log(5)  = 0.707107
log(6)  = log(2)+log(3) = 0.77815
log(7)  = 0.8451
log(  = log(2)+log(4) = 0.90309
log(9)  = 2*log(3) = 0.95424
log(10)= 1

Y creo que con estos ya es suficiente para poder medir las divisiones principales de una escala (de 1 a 10)

Las divisiones intermedias pueden ser calculadas fácilmente por triángulos equivalentes, por ejemplo de 1.1 a 1.9, luego de 1.01 a 1.09, etc.etc.

Una vez que se tiene una escala con la cantidad de divisiones necesarias, nuevamente por triángulos equivalentes puede escalarse al tamaño que sea necesario.

Otra posibilidad es calcular y medir las divisiones según los valores obtenidos por la serie de potencias para calcular Logaritmos:

(1)   log(1+x) = x + (n*-1) (x^n / n)   para todo   -1 <= n < 1

Sin embargo, esto que parece simple, tiene el problema "logístico" de calcular la función exponencial x^n para cada término de la serie (1), que como los exponentes no serán enteros, no puede hacerse por multiplicaciones sucesivas ( o sí Sargento ? ) En lugar de eso, habría que aplicar otra serie de potencias, más complicada que la utilizada para calcular el logaritmo ... lo que complica bastante los cálculos.

Vamos, que sí es factible, pero nada práctico.

Impracticables saludos

[AHMS]

Hola e-Slow:     
 
¿Cómo hacerlo partiendo sólo de aritmética y geometría?
    
Me obligas a quitarme "muchos años de encima" no te garantizo nada, mucho tiempo disponible no tengo, procuraré recordar y ya veremos que encuentro en "mis recuerdos"
 
Recuerdosicos saludos
Antonio

[Victory2K]

Recuerden este tema que ya habíamos charlado en su momento:

http://arc.reglasdecalculo.org/index.php?topic=1175.0

Integrando gráficamente la función 1/x se podría hacer. O incluso integrando numéricamente sería una operación medianamente accesible (mucho más que construir una regla en una isla desierta !)

Habría que rever los capítulos de la Isla de Guilligan... a ver si el escritor pensó en algo sobre el tema... jeje.

Náufragísticos saludos.

[Drawermx]

Hola a tod@s.

  Analizando con profundidad el planteamiento del problema he encontrado una serie de inconsistencias que me llevan a formular un nuevo planteamiento y se los presento a continuación:

  Si estamos en una isla desierta ¿No sería más útil pensar en el cómo salir de allí? y construir una balsa en lugar de una regla de cálculo

  Reformulados saludos.

  Alejandro.

[Teruteru314]

Si estamos en una isla desierta ¿No sería más útil pensar en el cómo salir de allí? y construir una balsa en lugar de una regla de cálculo

Aplicando un poco la lógica de Boole,

Si estamos solos, pensaría en invitar a alguien "interesante" a compartir la isla 

si no  estamos solos,  y la compañía sí es interesante    seguiría con lo de la regla de cálculo.

Si no estamos solos, pero la compañía NO es interesante, entonces sí pasaría al "plan B" de salir de allí y dejar a la compañía sola en la isla

 

[Victory2K]

...
Si estamos en una isla desierta ¿No sería más útil pensar en el cómo salir de allí? y construir una balsa en lugar de una regla de cálculo
...

Eso pasa cuando uno es demasiado poco ambicioso con el proyecto de "balsa" !!!!

Es obvio que para una buena balsa, primero hay que construir la regla, luego cierta maquinaria y los ordenadores para diseñarla, etc.. recién luego construirla....

Empecemos con la mira en algo así (si hay tiempo luego podemos hacerle algunas mejoras) :

http://www.gizmodo.es/2010/04/19/adentrate-en-un-yate-de-300-millones-de-dolares.html

Así al menos "la buena compañía" de TeruTeru quedará más impresionada que con un collar de cocos !

Y en el peor de los casos, al menos .... se estará bastante ocupado con labor-terapia gratuita por un buen tiempo....

laborterapéuticos Saludos

[gma]

Estamos en una isla (aquí hace referencia a esta serie "la Isla de Gilligan" que parece que fue un éxito por allá los 70 en los EEUU) y te planteas diseñar una regla de cálculo, sin tener calculadoras.

me imagino que se trata de una isla desierta  ...  de la que hay que huir  o sobrevivir

entonces  ¿PARA QUE NECESITAS UNA REGLA DE CALCULO?

curiosos saludos

Gonzalo

[e-lento]

¿Quién dijo "desierta"?

¿Quién dijo "queremos salir de allí"?

¿En qué estaríais pensando ?

¡Mucho calor estáis pasando! ¿eh?  

Venga, venga, no os andéis por las ramas, o despistando con temas "alternativos".  

La solución primera de Teruteru, acordarse de los logaritmos básicos es una buena alternativa (aunque yo, mísero, no los recordaba).

Es cierto que Oscampo en su día aportó una solución al tema (también lo tenía en el olvido). Gracias Victory2k.

Pero ya en su día me quedé muy confuso con el tema (me pierdo con las variables y los procesos explicativos), achacándolo a mis deficiencias y dejándolo en "pendientes".

Ahora, tras una segunda lectura... ...me he quedado casi igual. Pero he visto que (explicaciones aparte) de repente ha aparecido una curva 1/x, un montón de rectas con inclinaciones muy "parecidas" y, de ahí, "traspasando" inclinaciones, una curva logarítmica, de la cual se obtienen las escalas...

Me imagino que habrá que trabajar en "grande" para que el error de paralaje de las reglas (así se pasan las rectas de un lado al otro, ¿no?) sea mínimo, y buena vista... Pero lo veo difícil (¿quién fue que dijo "nadie dijo que fuera fácil"?) .

Yo esperaba algo más simple (¿alguien sabe cómo se calculaban las tablas de logaritmos? ¿se pueden hacer de modo sencillo sin partir de saberse los básicos?).

Preguntones saludos,

[Teruteru314]

e-lento, si no te sabes de memoria al menos los logaritmos del 1 al 10, no tienes más soluciones que

1. calcularlos por una serie de potencias

(1)   log(1+x) = x + (n*-1) (x^n / n)   para todo   -1 <= n < 1

2. por integración gráfica

Integral de (1/X) = Ln (x)

Te puedo hacer llegar una demostración puramente gráfica de cómo funcionaría el método "nemotécnico" una vez calculados los logs del 1 al 9, hecha en GeoGebra (aqui)

Por cierto DrawerMX, te recomiendo que investigues un poco ese programa para cualquier demo o prueba gráfico-matemática ... es fantástico y muy simple

Geogebricos saludos

[Drawermx]

Hola a tod@s.

  Alvaro:

  Gracias. Ya lo he descargado. De entrada me parece increíble, lo voy a estudiar con calma y ya te iré diciendo como me va.

  Como comenté en otro espacio de este foro apenas ahora le voy agarrando verdadero gusto a las matemáticas, hace más de veinte años que no las estudiaba. En estos días estoy volviendo a resolver mi viejo "Baldor" de álgebra con miras a seguir con un "Swokowski & Cole" que además tiene trigonometría y geometría analítica y espero, aunque no se para cuando, llegar al cálculo que en la escuela fue "una piedra en el zapato para mí" y creo que este programa que me has recomendado me va a facilitar el estudio.

  Agradecidos saludos.

  Alejandro.

[Teruteru314]

e-lento y Drawermx,

bajaros este fichero (esperad 60 seg para la Descarga Normal) y expandirlo en cualquier subdirectorio

Luego ejecutar el HTML, preferentemente con Firefox (el IE suele dar problemas de autorizaciones al ejecutar Java)

Podéis mover los puntos "Escala" y "Posición".

Escala mueve la posición de la línea donde quedarían las marcas finales, proyectadas desde el eje X, y como tal controla el escalado de las divisiones

Posición controla la posición de inicio de las décadas, sobre la línea donde se proyectan los puntos.

(estos dos puntos pueden moverse con el raton, y pueden verse listadas las coordenadas actuales de los puntos P, p y q)

Intersección es simpelemente eso, un punto calculado geométricamente por la instersección de las proyecciones de los puntos q1 (posición calculada a su vez por el círculo) y r1


Con esto quise mostrar que una vez que se fijan las posiciones básicas iniciales de los números 1 a 10 en una escala logarítmica cualquiera, en cualquier base, luego pueden utilizarse para que con una construcción geométrica simple (regla y cordel) se puedan generar las décadas necesarias para una escala de regla de cálculo, de cualquier longitud y en cualquier posición.

Posterioremente, con ejecuciones secundarias del mismo proceso se pueden proyectar las subsivisiones, por ejemplo entre 1.0 y 1.1, y luego entre 1.00 y 1.01 ... y así mientras la paciencia aguante.

Si no me equivoco, alguna forma similar a esta se utilizó en su tiempo en las máquinas pantográficas que grababan las matrices de estampado para las reglas de cálculo ... al menos las de Faber & Castell.

Demostrados saludos

[Victory2K]

Muy bueno todo lo expuesto TeruTeru, y el trabajo geométrico !

( Voy a tener que aprender a usar el GeoGebra !!! Parece que vale la pena tenerlo siempre a mano !)

Hagamos algo serio que se nos enoja e-Lento....

1-  Una consideración importante sobre el tema de fabricar una regla en condiciones de náufrago, es que el tamaño de la misma no sería importante. Por lo que trabajando en grandes dimensiones, digamos uno o dos metros, se podría hacer algo bastante preciso aún con las dificultades técnicas del caso...

2-  Otro tema que se me ocurre es que no es necesario construir toda la escala. Ya que la misma regla permite usarse aunque no esté completa.....
Digamos que si calculamos los logaritmos de 2, 3 y 5, y los marcamos en el cuerpo y en la reglilla. "Multiplicando" con la misma regla, podemos ya calcular el de 4, el de 6 y el de 10 y el de 1.5. En una segunda etapa el de 8, el de 1.2 , 1.8 , 4.5 , 7.5  Y así sucesivamente.... Vamos calculando marcando sobre el cuerpo y traspasando a la reglilla. También dividiendo vamos encontrando muchos valores intermedios....

Oye ! Que esto me está gustando !!!!  

Con este razonamiento sólo habría que calcular los logaritmos de los nros primos.  
Desarrollando solamente 2,3,5,7,11,13,17 y 19 ya tendríamos una buena regla !!!. El resto de las divisiones seguramente se pueden interpolar con más que suficiente aproximación, incluso ayudándose de otros valores intermedios bien cerca del número faltante... Y si no... tampoco son tantos primos !!!

Bueno. Hasta aqui llegó mi inspiración por hoy !  

Primáticos saludos !