Re: Problemas resueltos: - Resolución goniométrica ecuaciones segundo grado -

[Josep]

Resolución goniométrica de ecuaciones de segundo grado.

Este método viene en el manual de la "mítica" FC 2/84  y 2/84N (que tenéis traducido en el apartado "manuales" de esta santa casa)

Cuando pueda, me miro de dónde sale. De momento lo he probado con varios casos y funciona. Lo encuentro particularmente elegante y bien pensado para una regla de cálculo

 Sea una ecuación de segundo grado de la forma \( x^2+bx+c=0 \). 

Casos triviales
a) Si b=0 y c<0 , las soluciones son la raíz de c (con signo positivo y negativo)
b) Si b=0 y c=0, la ecuación tiene una raíz doble real en x= 0   
c) Si b=0 y c>0 la ecuación no tiene raíces reales. Las soluciones son  imaginarias de módulo \( \sqrt{c} \) y ángulo 90º y -90º
d) Si c=0, la ecuación tiene una raíz real igual a cero y otra igual a -b

 
Caso general

Empezamos encontrando \( k=\sqrt{|c|} \) y calculando la relación \( r=\frac{2·k}{b} \)

Caso 1: c<0

1.1) \( \phi=\frac{atan(r)}{2} \)
1.2) \( x_1 = k · tan(\phi)  \) y \( x_2= - k ·  cot(\phi)  \)



Caso 2: c>0

Subcaso 2a: |r|<1
2a.1  \( \phi=\frac{asin(r)}{2} \)
2a.2  \( x_1 =-k · tan(\phi)  \) y \( x_2= - k ·  cot(\phi)  \) (atentos al cambio de signo para x₁ con respecto al caso 1

Subcaso 2b: |r|=1
2b1. La ecuación es de la forma \( x^2+2b+b^2={(x+b)}^2=0 \) o bien \( x^2-2b+b^2={(x-b)}^2=0 \) Las raíz es doble y su cálculo trivial

Subcaso 2c: |r|>1
Si r>1, es obvio que no podemos calcular \( asin(r) \), ya que ningún angulo tiene un seno que valga más de 1. La razón es sencilla: si r>1, la ecuación NO TIENE SOLUCIONES REALES 


PD del Admin: He modificado el titulo para mejorar futuras búsquedas, ya os comenté que seria deseable que lo hicierais siempre por defecto...  ... Año Nuevo Normas Nuevas