Cálculos poco habituales con RC -factores de un número natural

[Josep]

Una característica que da fe del buen diseño de las reglas de cálculo es la posibilidad de realizar con ellas cálculos que normalmente no aparecen en los manuales y, a veces, ni siquiera estaban en las mentes de sus diseñadores. Y es que una regla de cálculo es literalmente matemática "encarnada" (de hecho plastificada, metalizada, etc, según el material) y por ello, como las matemáticas, una vez establecidas las premisas básicas se puede ir muuuy lejos. Quisiera dar algunas-la mayoría no son originales mías, claro). Quizá ya las conocéis, y pido vuestra indulgencia, y quizá tenéis propias, queos animo a compartir 

Y empiezo con una muy sencilla, que encontré no recuerdo donde, pero que requería invertir la regleta y que, tras trastear un poco vi cómo hacer sin invertirla, por lo que es algo mía

Encontrar factores de un número entero (no sólo factores primos, TODOS los factores)   

Alineamos el índice de C con el número en D. YO voy a usar 960 como ejemplo y el índice derecho. Como siempre, 9,6 = 96, 960, 9600 o lo que convenga.  Uso 960 porque tiene muchos factores y es mejor para ver el procedimiento

Como el producto de CI x D da siempre una constante que depende la posición relativa de la regleta con el cuerpo (en nuestro caso 960, que es el valor que queremos descomponer) buscamos qué marcas de CI que sean números enteros coinciden con marcas de D que sean números enteros. Las que lo hagan, serán factores del número, tanto la marca en CI como la marca en D 

CI 2, D 480  (4,8) 
CI 3, D 320 (3,2)
CI 4, D 240 (2,4)
CI 5, D 192 (1,92)
CI 6, D 160 (1,6)
CI 7 -> NO (coincide casi con 1,37, pero no del todo )
CI 8, D 120 (1,2)
CI 9, NO (coincide casi con 1,07, pero no del todo  )
CI 10 D 96 (0,96)

Volvemos al índice derecho, pero ahora hay que multiplicar CI x 10 y dividir D x 10

CI 12 (1,2) D 80 (8,0)
CI 15 (1,5) D 64 (6,4)
CI 16 (1,6) D 60 (6,0)
CI 20 (2,0) D 48 (4,8)
CI 24 (2,4) D 40 (4,0)
CI 30 (3,0) D 32 (3,2)
CI 32 (3,2) D 30 (3,0)

Podríamos continuar, pero encontraríamos los mismos factores en otro orden
Si el número fuera más grande (9600, por ejemplo) daríamso otra vuelta, pero multiplicando CI x 100 y D x 1)

Ya tenemos todos los factores de 960: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60,64,80,96,120,160, 192,240,320,480. ¡Y con un solo movimiento de regleta!

[e-lento]

¡Curioso y bien pensado! 

[Josep]

EL viernes pasado "descubrí" (ahora resultará que lo conoce todo el mundo)  un método para calcular raíces cúbicas sin usar la escala de cubos ni la escala de raíces cúbicas. Solo s enecesita tener dos pares de escalas que tengan una relación entre sí tal que una escala sea el cuadrado de la otra. Las candidatas obvias son A/B y C/D

Tomemos como ejemplo la raíz cúbica de 10,65. Ponemos el cursosr en la marca de 10,65 en A (mitad derecha de la escala)

Ahora, movemos la reglilla hasta que el número bajo el cursor en B coincida con el número de la escala D que está bajo el índice de C. En este caso, 2,2.    2,2 al cubo es 10,648 

¿Cómo es posible) EN A tenemos siempre un número que es el cuadrado del que econtraremos en D. Por tanto, bajo el índice de C tenemos en A un número que es el cuadrado del que tenmos en D y tmbién es el cuadrado del que tenemos en B bajop el cursor. SI multiplicamos un número que es el cuadrado de otro por el número del que es cuadrado tenemos el cubo  del número

Ok, pero, ¿por qué tanto trajín? Por qué no usar la escala K? Por dos motivos:

1) A veces no hay escala K 
2) Precisión . La tercera década de la escala K es un dolor de muelas para colocar el cursor con un mínimo de precisión.   Además, y esto es una ventaja enorme de ciertas reglas, las escalas A/B y C/D no son las únicas candidatas posibles. Recordad que al principio decía que podían usarse dos pares de escalas cualesquiera siempre que un par fuera el cuadrado del otro. En el caso de la Faber Castell 2/83 tenemos las escalas W, cuyo cuadrado son las escalas C/D. Esto permite calcular raíoces cúbicas  con una precisión prácticamente equivalente a las Pickett de alta gama y sus escalas de raíces cúbicas.



.

[e-lento]

O sea, en D tenemos un número "n" que al pasar a A queda "n²". Si entonces ese "n²" lo multiplicamos por "n" en B llegamos a "n³".

Como dices, es una solución "elegante" para tener más resolución que con K o cuando no hay K, y si es un cálculo aislado o el primero de una operación encadenada... 

...y, como también dices, creo haber visto algo en algún manual... Pero, como ves, ya no me acordaba...    y la has explicado muy bien.

Siempre he pensado que sería interesante hacer un "manual avanzado" de trucos y estrategias para usar mejor la regla de cálculo (más rapidez, menos error, más decimales...). Esta sería una candidata ideal, y también tendríamos por ejemplo cómo solucionar ecuaciones de segundo grado, como "ampliaciones de funcionalidad". Por otro lado, en groups.io hay un montón de discusiones sobre cómo hacer una operación más rápido o mejor... 

Interesados saludos, 

[Josep]

Otro cálculo, esta vez en electrónica, pero sin regla especializada. Para este sencillo truco necesitaré un volunta... perdón, una regla con escalas C, D, CI y CIF (una Aristo 901 servirá, por ejemplo)

Un circuito muy utilizado en electrónica es el filtro RC, formado por una resistencia y un condensador. Según la disposición de los componentes, este filtro puede ser paso alto (deja pasar señales por encima de cierta frecuencia) o paso bajo (deja pasar señales pro debajo de cierta frecuencia) . En todos los casos, sin embargo, la frecuencia de corte del filtro se define pro la fórmula f= 1/(2*pi*R*C), donde R es el valor de al resistencia en ohmios y C el valor del condensador en faradios. Si el filtro está formado por uan resistencia de 330 kohm y un condensador de 22 pico faradios, calculamos la frecuencia de la siguiente forma

Sobre 3,3 en D colocamos 2,2 en CI. Movemos el cursor hasta 2 en D y en DF tenemos 2*pi*R*C. Ahora, sin mover el cursor, cerramos la regleta y tenemos en CIF  1/(2*pi*R*C), es decir, la frecuencia de corte (2,19 en la regla que corresponde a 21922 Hz)

Hasta aquí todo parece sencillo. Peeero un ingeniero normalmente DISEÑA filtros, es decir, sabe qué frecuencia de corte quiere y a partir de ahí dimensiona los componentes del filtro. Y este cálculo inverso, que podríamso pensar que es más complicado, de hecho es mucho mas sencillo que lo que hemos visto hasta ahora.   

Con la regleta cerrada (las escalas C y D perfectamente alineadas) , movemos el cursor hasta que en CIF tengamos la frecuencia de corte deseada. En este caso, 21900 Hz, es decir, 2,19 en CIF

Ahora, movemos la regleta hasta que 2 en la escala D esté bajo el cursor

Y ahora, ya podemos elegir los componentes. El valor del condensador y la resistencia estarán uno en la escala CI y el otro en la escala D, uno encima de otro Movemos el cursor hasta encontrar un par de valores que nos interesen y listo (como siempre, habrá que ajustar la potencia de 10) .  Dado que los valores de los condensadores suelen tener menos gama donde elegir que los de resistencia, es preferible elegir un valor normalizado de condensador y obtener la resistencia mediante combinaciones en serie o en paralelo si hace falta.


   

[e-lento]

 

[Josep]

Otro cálculo muy habitual en electrónica y electricidad: dos resistencias en paralelo (o dos condensadores en serie. La resistencia total, como es sabido, es R = R1*R2/(R1+R2). Ay, LA SUMA. Ayer le di unas cuantas vueltas

De hecho, la fórmula original es 1/R = 1/R1+1/R2  Esto se puede trabajar un poco así 1/R1+1/R2= (R2+R1)/(R1*R2) = R2/(R1*R2)+R1/(R1*R2) = 1/R1*(R2/R2+R1/&R2) = 1/R1*(1+R1/R2) La suma de dos valores que pueden ser cualesquiera se ha transformado en sumar 1, que es una operación mucho más sencilla. Como así obtenemos el inverso de la resistencia, podemos hacer esto y encontrar el recíproco o, usar una regla con escalas CI y DI

Tomemos por ejemplo R1=6 y R2=4  (no son valores normalizados, pero sirven para ver mejor el procedimiento) sobre 6 en DI ponemos 4 en CI
EN el índice de CI encontramos 1,5 en DI Sumamos 1 mentalmente y movemos el cursor hasta 2,5 en DI
Ahora movemos la regleta hasta que 6 en CI esté sobre el cursor
Sobre el índice de CI (y de C) podemos leer 2,4 en D, (2,4 = 6*4/6+4) y 4,16=1/2,4 en DI
EL mismo procedimiento usando las escalas C y D nos dará el inverso de la resistencia (4,16) en la escala D. Esto no tiene por qué ser un inconveniente: normalmente, estas resistencia en paralelo estarán asociadas con otras en serie, y, si el valor de las resistencias en paralelo está en el denominador de la siguiente expresión que queramos calcular, una simple multiplicación nos da el resultado.

[Teruteru314]

De hecho, 1/R es la definición de Conductancia, expresada como Y = 1/R.

Su unidad de medida es el Mho (inverso de Ohm) 

Las resistencias en serie suman su resistencia; las resistencias en paralelo suman sus conductancias ... de ahí que sea Y = 1/R1 + 1/R2.

Tradicionalmente, antes de las calculadoras, se utilizaban mucho los ábacos para el cálculo de resistencias en paralelo.

La cosa se complica cuando se trata de Impedancias en paralelo, o sea, con una componente resistiva y otra reactiva (números complejos)

Uuff ... en la que nos metimos ...


Metidos saludos.

[cac]

De hecho, 1/R es la definición de Conductancia, expresada como Y = 1/R.

Su unidad de medida es el Mho (inverso de Ohm) 

Las resistencias en serie suman su resistencia; las resistencias en paralelo suman sus conductancias ... de ahí que sea Y = 1/R1 + 1/R2.

Tradicionalmente, antes de las calculadoras, se utilizaban mucho los ábacos para el cálculo de resistencias en paralelo.

La cosa se complica cuando se trata de Impedancias en paralelo, o sea, con una componente resistiva y otra reactiva (números complejos)

Uuff ... en la que nos metimos ...


Metidos saludos.

Eso mismo digo yo.

[Josep]

La cosa se complica cuando se trata de Impedancias en paralelo, o sea, con una componente resistiva y otra reactiva (números complejos)
Metidos saludos.

No, el principio bàsico se mantiene. Sean dos impedancias cualesquiera, \[  Z_1 ,  Z_2  \] entonces, si están en serie \[ Z_t = Z_1 + Z_2  \], mientras que si están en paralelo, \[ Z_t = \frac {Z_1 Z_2} {Z_1+ Z_2} \]

EL problema es que una iumpedancia resistiva es \[ Z_r = R  \], mientras que una impedancia inductiva es \[ Z_l = L \omega \], y una capacitiva es \[  Z_c = \frac {1} { C \omega}  \] donde \[ \omega = 2 j \pi f  \] siendo \[ f \] la frecuencia en Hz.

La razón de tener esa  (\[  j = {\sqrt {-1}} \] en al frecuencia  es que la transformación de Fourier se hace con frecuencias complejas (cosas de telecos que a veces ni nosotros entendemos del todo)

Esto, claroi,para componentes teóricos. Los componente sreales llevan siempre asociado algún tipo de impedancia "parásita" derivada del método de construcción. Así, una bobina y un condensador tienen resistencias parásitas  (en serie la bobina, en paralelo el condensador y las resistencias, pro su construcción normalmente tienen una inductancia parásita
Pero al final las fórmulas son las mismas, se usen números reales o complejos

[Teruteru314]

... Ley de MAAG ... Ley de MAAG !!

 

[Josep]

Bueno, si me das tiempo (tenía pensado hacerlo) miro como calcular todas las combinaciones de circuitos con R, L y C  con uanregla de cálculo

[Josep]

Sacado de la web de Antiquark; https://www.antiquark.com/2005/01/slide-rule-tricks.html


Multiplicar usando las escalas LL

Fundamentos matemáticos
Buscamos un número  P tal que
\[ x^p = x·y   =>    p·log(x) =log(x·y)= log(x)+(log(y)  => p=\frac{log(x) + log(y)}{log(x)}=\frac{log(y)}{log(x)}+1  \]

PARECE complicado, pero en la regla no lo es tanto. Veamos por ejemplo, 0,894 * 0,562

Tomamos el número más cercano a la unidad. En este caso, 0,895 Buscamos 0,895 en la escala LL02 y alineamos el índice de C con este valor. ovemos el cursor hasta LL02=0,562. Vemos el valor bajo el cursor en C. Es 5,15. Movemos  el cursor +1 hasta 6,15. EN LL2 vemos el valor 0,503 aproximadamente (el resultado exacto es 0,502428)

Y si los números están en escalas LL distintas y contiguas?  Se procede de modo muy similar.

Supongamos 0,9864*0,473

0,9864 está en la escala LL1, mientras que 0,473 está en la LL2.

Tomamos el número en al escala LL más cercana a la unidad (0,9864) y alineamos el índice de C sobe él. Ahora, movemos el cursor a 0,473, y vemos que bajo C está 5,41.


Ahora la corrección. Sumamos  0,1*el índice que hemos usado. Si usamos C=1, sumamos 0,1. Si usamos C = 10 sumamos 1   En este caso, hemos usado C=1, así que sumamos 0,1. Bajo el cursor encontramos LL2=0,466  (el valor exacto es 0.4665672)


Un ejemplo usando el índice C=10

0,9265*0,713

Cursor a 0,9265. Claramente, si alineamos con C=1 no vamos a encontrar el número. así que alineamos con C=10

Cursor a 0,713 en LL02 . En C tenemos 4,45.
Cursor a 5,45 en C. Bajo LL02 tenemos 0.661. El resultado exacto es 0,6605945

Y todo esto... ¿para qué sirve?

Pues básicamente para incrementar la precisión. Por un lado, el efecto neto es el de usar una escala más larga, y por el otro, los números cuya primera cifra significativa es un 9 se pueden ubicar con más precisión. Y si alguien no está seguro, que intente colocar 0,9864 en la escala D con el cursor "a ojímetro" 


 





   

[Josep]

S vuestra regla no tiene escalas LL0-LL00, podéis usar la escala D

La escala LL0 es la escala D, pero poniendo 1.00 antes del valor. Por ejemplo, 27 en D corresponderá a 1.0027 (los afortunados propietarios de una FC 2/83N son muy conscientes de esto)
La escala LL00 es 1 menos la escala D dividida por 1000 Así, 27 en D corresponderá a 0.9973

De hecho, las reglas que SÍ tienen estas escalas las construyen de este modo (comprobado con tres reglas). Se basan en la aproximación \[ e^x = 1+x  \]
para valores de muy cercanos a 0. Por supuesto, esto se podría extender aun más y crear una "escala" LL-1 que sería e^-0.0001*x

¿Cómo de buena es esta aproximación?  Pues bastante. Para x=0,01 (que sería el peor caso)  el error es de -0,005% o -50 ppm, lo que quiere decir que los 5 primeros decimales son idénticos, es decir, una precisión de 6 cifras significativas. 

 

[Pablo Serrano]

S vuestra regla no tiene escalas LL0-LL00, podéis usar la escala D

La escala LL0 es la escala D, pero poniendo 1.00 antes del valor. Por ejemplo, 27 en D corresponderá a 1.0027 (los afortunados propietarios de una FC 2/83N son muy conscientes de esto)
La escala LL00 es 1 menos la escala D dividida por 1000 Así, 27 en D corresponderá a 0.9973

De hecho, las reglas que SÍ tienen estas escalas las construyen de este modo (comprobado con tres reglas). Se basan en la aproximación \[ e^x = 1+x  \]
para valores de muy cercanos a 0. Por supuesto, esto se podría extender aun más y crear una "escala" LL-1 que sería e^-0.0001*x

¿Cómo de buena es esta aproximación?  Pues bastante. Para x=0,01 (que sería el peor caso)  el error es de -0,005% o -50 ppm, lo que quiere decir que los 5 primeros decimales son idénticos, es decir, una precisión de 6 cifras significativas. 
 

En realidad es lo mismo que pasa con la escala ST, que no es más que aproximar el seno y la tangente por el ángulo en radianes tomando el primer término de las respectivas series de Taylor alrededor del cero. Otra manera de verlo es que se aproxima \( \ln(1+x) \approx x \), con lo que para hallar por ejemplo \(  \ln 0,997= \ln(1-0,003)= -0,003 \).

Tayloricos-Maclaurianos saludos.

[Josep]

Para la escala ST,, algunos fabricantes indicaban por separado el seno y la tangente a partir de  4º En el caso de LL0 y LL00, la aproximación es mucho mejor


Efectivamente, ambas aproximaciones són equivalentes, pero como las escalas LL NORMALMENTE son e^x, o e^0.1x, etc (una excepción son las picket dual-base, que usan 10^x para construirlas) , he preferido usar esta

[Josep]

Calcular la hipotenusa de un triángulo conocidos dos catetos

Este problema es mas viejo que la tos. Sin embargo, la solución que he encontrado en https://followingtherules.info/squares-and-square-roots.html#squares-and-square-roots me ha dejado de pasta de boniato por lo sencilla

Tomamos como ejemplo \( y=\sqrt{5,2^2+3,7^2} \)

1) Tomamos uno de los dos números. Por ejemplo, 5,2, en D 
2) Con ayuda del cursor, Alineamos el 10 de la escala B con este número
3) Movemos el cursor al segundo número (3,7)
4) Leemos el número en la escala B. llamaremos a este número n
5) Movemos el cursor a n+10 en la escala B. En la escala D está el resultado  (6,38)

Por lo visto, esta técnica se usaba y enseñaba en los EUA en la época de oro de la RC

[Pablo Serrano]

Calcular la hipotenusa de un triángulo conocidos dos catetos

Este problema es mas viejo que la tos. Sin embargo, la solución que he encontrado en https://followingtherules.info/squares-and-square-roots.html#squares-and-square-roots me ha dejado de pasta de boniato por lo sencilla

Tomamos como ejemplo \( y=\sqrt{5,2^2+3,7^2} \)

1) Tomamos uno de los dos números. Por ejemplo, 5,2, en D 
2) Con ayuda del cursor, Alineamos el 10 de la escala B con este número
3) Movemos el cursor al segundo número (3,7)
4) Leemos el número en la escala B. llamaremos a este número n
5) Movemos el cursor a n+10 en la escala B. En la escala D está el resultado  (6,38)

Por lo visto, esta técnica se usaba y enseñaba en los EUA en la época de oro de la RC

Otra forma ultra rápida es la que viene en el manual de uso de la 2 /82 N y 2/83 N editado por Faber Castell para cambiar números complejos de forma cartesiana \( z= a + bj \) a polar \( z = r e^{j \phi}  \). Esto es:

• En la escala D se marca b (como estamos simplemente resolviendo la hipotenusa es indiferente cuál de ambos catetos)
• Multiplicamos por el inverso de a, es decir, cursor en 1 y en la escala CI buscamos a, esto nos da en la escala de tangentes el ángulo \( \phi \), ya que \( \tan \phi = \frac b a  \), con todas las salvedades que sabemos (cuadrante, si es menor o mayor que 45, etc)
• Viendo este ángulo \( \phi \) en la escala S, alineado con él, en la escala CI está el módulo \( r \), porque \( b= r \cdot \sin \phi \rightarrow r = \frac {b}{\sin \phi} \)

El manual al que me refiero está en slide rule museum:

https://www.sliderulemuseum.com/Manuals/M238Ref_UseOfThe_2-83N_SlideRule_SPetry.pdf

Polares saludos

[Josep]

Buena. No la recordaba

[Josep]

Otra cosita a la que le he dado vueltas

Simplificar fracciones y hallar el MCD (Máximo común divisor)

Sean A y B dos enteros positivos cualesquiera. El  MCD, como ya sabemos, es el mayor número que es divisor de A y de B, es decir \( \frac{A}{B}=\frac{X·MCD}{Y·MCD} \) siendo X e Y también enteros

Para encontrar este número en la regla de cálculo  enfrentamos los dos números en dos escalas logarítmicas cualesquiera (normalmente C/D o CF/DF...) Ahora, todos los números enfrentados en esas dos escalas van a tener la misma relación que A y B. Buscamos el par de números enteros más bajo que esté enfrentado en las dos escalas moviendo el cursor, empezando pro un índice con valor 1. Estos dos números son X e Y. Para encontrar el MCD, movemos el índice de una escala de la reglilla (C o CF según convenga) bajo el cursor. En esta escala, y bajo el número original que estaba en la escala D  (o DF) encontramos el MCD

Veamos un ejemplo: MCD de 48 y 84

48 en C sobre 84 en D

Movemosel cursor a C=1. Corresponde a D=1,75. No sirve. C=2  corresponde a D=2,5. No sirve. C=3 corresponde a D=5,25. No sirve C=4 corresponde a D=7. Ya tenemos X e Y. Movemos el índice de CF a D=7.

En D=84 (nuestro número original)  encontramos 1.2 en CF, que corresponde a 12. Este es el máximo común divisor.

SI los números son primos entre sí, por supuesto, no encontraremos ninguna pareja